2018 AIME II Problem 2

Below is the professionally curated solution for Problem 2 of the 2018 AIME II, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2018 AIME II solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:recursion modular arithmetic pattern recognition

Difficulty rating: 1970

Let $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ and $a_2 = 8,$ and for $n \gt 2$ define $a_n$ recursively to be the remainder when $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ is divided by $11.$ Find $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

Answer

Solution:

Computing successive terms gives $2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots$ Since $(a_{10}, a_{11}, a_{12}) = (2, 5, 8) = (a_0, a_1, a_2)$ and each term depends only on the previous three, the sequence is periodic with period $10.$

Therefore $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ and $a_{2022} = a_2 = 8,$ so the product is $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

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