1988 AIME Problem 2

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All problems are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

For any positive integer $k,$ let $f_1(k)$ denote the square of the sum of the digits of $k.$ For $n\geq2,$ let $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Find $f_{1988}(11).$

Answer

Answer: 169

Concepts:digits recursion pattern recognition

Difficulty rating: 1690

Small Hint:

Compute the first several iterates until a value repeats

Big Hint:

After the transient values, the sequence alternates between two numbers

Solution:

The iterates begin $4,$ $16,$ $49,$ $169,$ $256,$ followed by $169,$ $256,$ $\ldots.$ Thus from the fourth iterate onward, even indices give $169$ and odd indices give $256.$ Since $1988$ is even, $f_{1988}(11)=169.$

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