Soluciones del 1995 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Walter tiene en su bolsillo exactamente una moneda de un centavo, una de cinco centavos, una de diez centavos y una de veinticinco centavos. ¿Qué porcentaje de un dólar tiene en su bolsillo?

Walter has exactly one penny, one nickel, one dime and one quarter in his pocket. What percent of one dollar is in his pocket?

$4\%$

$25\%$

$40\%$

$41\%$

$59\%$

Conceptos:dinero porcentaje

Nivel de dificultad: 370

Solución:

Las monedas suman $1 + 5 + 10 + 25 = 41$ centavos.

Como un dólar son $100$ centavos, esto es el $41\%$ de un dólar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The coins total $1 + 5 + 10 + 25 = 41$ cents.

Since one dollar is $100$ cents, this is $41\%$ of a dollar.

Thus, the correct answer is D .

2.

Jose tiene $4$ años menos que Zack. Zack tiene $3$ años más que Inez. Inez tiene $15$ años. ¿Cuántos años tiene Jose?

Jose is $4$ years younger than Zack. Zack is $3$ years older than Inez. Inez is $15$ years old. How old is Jose?

$8$

$11$

$14$

$16$

$22$

Conceptos:edades

Nivel de dificultad: 370

Solución:

Zack tiene $15 + 3 = 18$ años.

Jose tiene $4$ años menos, así que Jose tiene $18 - 4 = 14$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Zack is $15 + 3 = 18$ years old.

Jose is $4$ years younger, so Jose is $18 - 4 = 14$ .

Thus, the correct answer is C .

3.

¿Cuál de las siguientes operaciones tiene sobre un número el mismo efecto que multiplicar por $\dfrac34$ y luego dividir por $\dfrac35$ ?

Which of the following operations has the same effect on a number as multiplying by $\dfrac34$ and then dividing by $\dfrac35?$

dividir por $\dfrac43$

dividing by $\dfrac43$

dividir por $\dfrac{9}{20}$

dividing by $\dfrac{9}{20}$

multiplicar por $\dfrac{9}{20}$

multiplying by $\dfrac{9}{20}$

dividir por $\dfrac54$

dividing by $\dfrac54$

multiplicar por $\dfrac54$

multiplying by $\dfrac54$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Dividir por $\dfrac35$ es lo mismo que multiplicar por $\dfrac53,$ así que las dos operaciones juntas multiplican por

$\dfrac34 \times \dfrac53 = \dfrac54.$

Entonces el efecto combinado es multiplicar por $\dfrac54$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Dividing by $\dfrac35$ is the same as multiplying by $\dfrac53,$ so the two operations together multiply by

$\dfrac34 \times \dfrac53 = \dfrac54.$

So the combined effect is multiplying by $\dfrac54$ .

Thus, the correct answer is E .

4.

Un profesor le dice a la clase: "Piensa en un número, súmale $1$ y duplica el resultado. Dale la respuesta a tu compañero. Compañero, resta $1$ al número que recibes y duplica el resultado para obtener tu respuesta." Ben piensa en $6,$ y le da su respuesta a Sue. ¿Cuál debe ser la respuesta de Sue?

A teacher tells the class, "Think of a number, add $1$ to it, and double the result. Give the answer to your partner. Partner, subtract $1$ from the number you are given and double the result to get your answer." Ben thinks of $6,$ and gives his answer to Sue. What should Sue's answer be?

$18$

$24$

$26$

$27$

$30$

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Ben calcula $(6 + 1) \times 2 = 14$ y le da $14$ a Sue.

Sue calcula $(14 - 1) \times 2 = 26$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Ben computes $(6 + 1) \times 2 = 14$ and gives $14$ to Sue.

Sue computes $(14 - 1) \times 2 = 26$ .

Thus, the correct answer is C .

5.

Halla el menor número entero que sea mayor que la suma

$2\tfrac12 + 3\tfrac13 + 4\tfrac14 + 5\tfrac15.$

Find the smallest whole number that is larger than the sum

$2\tfrac12 + 3\tfrac13 + 4\tfrac14 + 5\tfrac15.$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:fracción estimación

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Las partes enteras suman $2 + 3 + 4 + 5 = 14$ .

Las fracciones $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \dfrac15$ suman aproximadamente $1.28,$ que está entre $1$ y $2.$ Así que el total está entre $15$ y $16,$ y el menor número entero mayor que él es $16$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The whole-number parts sum to $2 + 3 + 4 + 5 = 14$ .

The fractions $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \dfrac15$ add to about $1.28,$ which is between $1$ and $2.$ So the total is between $15$ and $16,$ and the smallest whole number larger than it is $16$ .

Thus, the correct answer is C .

6.

Las figuras $I,$ $II$ y $III$ son cuadrados. El perímetro de $I$ es $12$ y el perímetro de $II$ es $24.$ El perímetro de $III$ es

Figures $I,$ $II$ and $III$ are squares. The perimeter of $I$ is $12$ and the perimeter of $II$ is $24.$ The perimeter of $III$ is

$9$

$18$

$36$

$72$

$81$

Conceptos:perímetro cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 770

Solución:

El cuadrado $I$ tiene lado $12 \div 4 = 3,$ y el cuadrado $II$ tiene lado $24 \div 4 = 6.$

En la figura, el lado de $III$ es $3 + 6 = 9,$ así que su perímetro es $4 \times 9 = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Square $I$ has side $12 \div 4 = 3,$ and square $II$ has side $24 \div 4 = 6.$

From the figure, the side of $III$ is $3 + 6 = 9,$ so its perimeter is $4 \times 9 = 36.$

Thus, the correct answer is C .

7.

En la escuela secundaria Clover View, la mitad de los estudiantes se va a casa en el autobús escolar. Una cuarta parte se va en automóvil. Una décima parte se va en bicicleta. El resto camina a casa. ¿Qué fracción de los estudiantes camina a casa?

At Clover View Junior High, one half of the students go home on the school bus. One fourth go home by automobile. One tenth go home on their bicycles. The rest walk home. What fractional part of the students walk home?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{3}{20}$

$\dfrac13$

$\dfrac{17}{20}$

$\dfrac{9}{10}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Los estudiantes que van en algún vehículo representan

$\begin{aligned} \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac{1}{10} &= \dfrac{10}{20} + \dfrac{5}{20} + \dfrac{2}{20} \\ &= \dfrac{17}{20}. \end{aligned}$

Así que la fracción que camina es $1 - \dfrac{17}{20} = \dfrac{3}{20}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The students who ride make up

$\begin{aligned} \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac{1}{10} &= \dfrac{10}{20} + \dfrac{5}{20} + \dfrac{2}{20} \\ &= \dfrac{17}{20}. \end{aligned}$

So the fraction who walk is $1 - \dfrac{17}{20} = \dfrac{3}{20}.$

Thus, the correct answer is B .

8.

Un estadounidense que viaja por Italia desea cambiar dinero estadounidense (dólares) por dinero italiano (liras). Si $3000$ liras $= \$1.60,$ ¿cuántas liras recibirá el viajero a cambio de $\$1.00$ ?

An American traveling in Italy wishes to exchange American money (dollars) for Italian money (lire). If $3000$ lire $= \$1.60,$ how many lire will the traveler receive in exchange for $\$1.00?$

$180$

$480$

$1800$

$1875$

$4875$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Como $\$1.00$ es $\dfrac{1.00}{1.60} = \dfrac58$ de $\$1.60,$ el viajero recibe $\dfrac58$ de $3000$ liras.

Es decir, $\dfrac58 \times 3000 = 1875$ liras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\$1.00$ is $\dfrac{1.00}{1.60} = \dfrac58$ of $\$1.60,$ the traveler gets $\dfrac58$ of $3000$ lire.

That is $\dfrac58 \times 3000 = 1875$ lire.

Thus, the correct answer is D .

9.

Tres círculos congruentes con centros $P,$ $Q$ y $R$ son tangentes a los lados del rectángulo $ABCD$ como se muestra. El círculo centrado en $Q$ tiene diámetro $4$ y pasa por los puntos $P$ y $R.$ El área del rectángulo es

Three congruent circles with centers $P,$ $Q$ and $R$ are tangent to the sides of rectangle $ABCD$ as shown. The circle centered at $Q$ has diameter $4$ and passes through points $P$ and $R.$ The area of the rectangle is

$16$

$24$

$32$

$64$

$128$

Conceptos:circunferencias tangentes rectángulo

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Cada círculo tiene diámetro $4.$ El lado corto del rectángulo es igual a un diámetro, así que es $4.$

Como el círculo en $Q$ pasa por $P$ y $R,$ los tres círculos tienen radio $2,$ y el lado largo abarca dos diámetros completos: $4 + 4 = 8.$ El área es $8 \times 4 = 32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each circle has diameter $4.$ The short side of the rectangle equals one diameter, so it is $4.$

Since the circle at $Q$ passes through $P$ and $R,$ all three circles have radius $2,$ and the long side spans two full diameters: $4 + 4 = 8.$ The area is $8 \times 4 = 32.$

Thus, the correct answer is C .

10.

Una chaqueta y una camisa se vendían originalmente por $80 y $40, respectivamente. Durante una rebaja, Chris compró la chaqueta de $80 con un $40\%$ de descuento y la camisa de $40 con un $55\%$ de descuento. ¿Qué porcentaje del total de los precios originales representó la cantidad total ahorrada?

A jacket and a shirt originally sold for $80 and $40, respectively. During a sale Chris bought the $80 jacket at a $40\%$ discount and the $40 shirt at a $55\%$ discount. The total amount saved was what percent of the total of the original prices?

$45\%$

$47\tfrac12\%$

$50\%$

$79\tfrac16\%$

$95\%$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 930

Solución:

El descuento de la chaqueta ahorra el $40\%$ de $\$80 = \$32,$ y el descuento de la camisa ahorra el $55\%$ de $\$40 = \$22.$ El total ahorrado es $\$32 + \$22 = \$54.$

El total original es $\$80 + \$40 = \$120,$ así que el porcentaje ahorrado es $\dfrac{54}{120} = 0.45 = 45\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The jacket discount saves $40\%$ of $\$80 = \$32,$ and the shirt discount saves $55\%$ of $\$40 = \$22.$ The total saved is $\$32 + \$22 = \$54.$

The original total is $\$80 + \$40 = \$120,$ so the percent saved is $\dfrac{54}{120} = 0.45 = 45\%.$

Thus, the correct answer is A .

11.

Jane puede recorrer cualquier distancia en la mitad del tiempo que le toma a Hector recorrer la misma distancia. Parten en direcciones opuestas por el exterior del área de $18$ cuadras que se muestra. Cuando se encuentran por primera vez, estarán más cerca de

Jane can walk any distance in half the time it takes Hector to walk the same distance. They set off in opposite directions around the outside of the $18$ -block area as shown. When they meet for the first time, they will be closest to

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo perímetro velocidad relativa

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

El perímetro de la región es de $18$ cuadras, así que cuando Jane y Hector se encuentran han caminado juntos $18$ cuadras. Como Jane camina el doble de rápido, ella recorre $12$ cuadras y Hector recorre $6.$

Partiendo del centro del borde inferior, Hector camina $6$ cuadras (hasta $E,$ y luego sube hasta $D$ ), y Jane camina $12$ cuadras (hasta $A,$ sube hasta $B,$ y luego cruza por arriba hasta $D$ ). Se encuentran en $D.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The perimeter of the region is $18$ blocks, so when Jane and Hector meet they have together walked $18$ blocks. Since Jane walks twice as fast, she covers $12$ blocks and Hector covers $6.$

Starting from the middle of the bottom edge, Hector walks $6$ blocks (to $E,$ then up to $D$ ), and Jane walks $12$ blocks (to $A,$ up to $B,$ then across the top to $D$ ). They meet at $D.$

Thus, the correct answer is D .

12.

Un año afortunado es aquel en el que al menos una fecha, escrita en la forma mes/día/año, cumple la siguiente propiedad: el producto del mes por el día es igual a los dos últimos dígitos del año. Por ejemplo, $1956$ es un año afortunado porque tiene la fecha $7/8/56$ y $7 \times 8 = 56.$ ¿Cuál de los siguientes NO es un año afortunado?

A lucky year is one in which at least one date, when written in the form month/day/year, has the following property: the product of the month times the day equals the last two digits of the year. For example, $1956$ is a lucky year because it has the date $7/8/56$ and $7 \times 8 = 56.$ Which of the following is NOT a lucky year?

$1990$

$1991$

$1992$

$1993$

$1994$

Conceptos:factor análisis por casos

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Cada uno de los otros años funciona: $90 = 9 \times 10,$ $91 = 7 \times 13,$ $92 = 4 \times 23,$ y $93 = 3 \times 31,$ cada uno con un mes/día válido.

Para $1994,$ los dos últimos dígitos solo se factorizan como $94 = 2 \times 47,$ y $47$ es demasiado grande para un día (y $94$ o $47$ es demasiado grande para un mes). Así que $1994$ no tiene ninguna fecha afortunada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each of the other years works: $90 = 9 \times 10,$ $91 = 7 \times 13,$ $92 = 4 \times 23,$ and $93 = 3 \times 31,$ each a valid month/day.

For $1994,$ the last two digits factor only as $94 = 2 \times 47,$ and $47$ is too large for a day (and $94$ or $47$ is too large for a month). So $1994$ has no lucky date.

Thus, the correct answer is E .

13.

En la figura, $\angle A,$ $\angle B$ y $\angle C$ son ángulos rectos. Si $\angle AEB = 40^\circ$ y $\angle BED = \angle BDE,$ entonces $\angle CDE =$

In the figure, $\angle A,$ $\angle B$ and $\angle C$ are right angles. If $\angle AEB = 40^\circ$ and $\angle BED = \angle BDE,$ then $\angle CDE =$

$75^\circ$

$80^\circ$

$85^\circ$

$90^\circ$

$95^\circ$

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

En el triángulo $BDE,$ los ángulos en $E$ y $D$ son iguales y $\angle B = 90^\circ,$ así que $\angle BED = \angle BDE = 45^\circ.$

Entonces $\angle AED = \angle AEB + \angle BED$ $= 40^\circ + 45^\circ$ $= 85^\circ.$ En el cuadrilátero $AEDC,$ los ángulos en $A$ y $C$ son $90^\circ,$ así que

$\begin{aligned} \angle CDE &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ \\ &\quad {}- 85^\circ \\ &= 95^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In triangle $BDE,$ the angles at $E$ and $D$ are equal and $\angle B = 90^\circ,$ so $\angle BED = \angle BDE = 45^\circ.$

Then $\angle AED = \angle AEB + \angle BED$ $= 40^\circ + 45^\circ$ $= 85^\circ.$ In quadrilateral $AEDC,$ the angles at $A$ and $C$ are $90^\circ,$ so

$\begin{aligned} \angle CDE &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ \\ &\quad {}- 85^\circ \\ &= 95^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E .

14.

Un equipo ganó $40$ de sus primeros $50$ partidos. ¿Cuántos de los $40$ partidos restantes debe ganar este equipo para haber ganado exactamente el $70\%$ de sus partidos en la temporada?

A team won $40$ of its first $50$ games. How many of the remaining $40$ games must this team win so it will have won exactly $70\%$ of its games for the season?

$20$

$23$

$28$

$30$

$35$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 930

Solución:

La temporada tiene $50 + 40 = 90$ partidos, y el $70\%$ de $90$ es $63$ victorias.

El equipo ya tiene $40$ victorias, así que necesita $63 - 40 = 23$ más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The season has $50 + 40 = 90$ games, and $70\%$ of $90$ is $63$ wins.

The team already has $40$ wins, so it needs $63 - 40 = 23$ more.

Thus, the correct answer is B .

15.

¿Cuál es el dígito número $100$ a la derecha del punto decimal en la forma decimal de $\dfrac{4}{37}$ ?

What is the $100$ th digit to the right of the decimal point in the decimal form of $\dfrac{4}{37}?$

$0$

$1$

$2$

$7$

$8$

Conceptos:decimal periódico aritmética modular

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

$\dfrac{4}{37} = 0.\overline{108},$ que se repite con un bloque de longitud $3.$ Los dígitos en las posiciones $3, 6, 9, \ldots$ (múltiplos de $3$ ) son $8.$

Como $99$ es múltiplo de $3,$ el dígito número $99$ es $8,$ así que el dígito número $100$ comienza el siguiente bloque: es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

$\dfrac{4}{37} = 0.\overline{108},$ repeating with block length $3.$ The digits in positions $3, 6, 9, \ldots$ (multiples of $3$ ) are $8.$

Since $99$ is a multiple of $3,$ the $99$ th digit is $8,$ so the $100$ th digit starts the next block: it is $1.$

Thus, the correct answer is B .

16.

Estudiantes de tres escuelas secundarias trabajaron en un proyecto de verano. Siete estudiantes de Allen School trabajaron durante $3$ días. Cuatro estudiantes de Balboa School trabajaron durante $5$ días. Cinco estudiantes de Carver School trabajaron durante $9$ días. La cantidad total pagada por el trabajo de los estudiantes fue de $774. Suponiendo que cada estudiante recibió la misma cantidad por un día de trabajo, ¿cuánto ganaron en total los estudiantes de Balboa School?

Students from three middle schools worked on a summer project. Seven students from Allen School worked for $3$ days. Four students from Balboa School worked for $5$ days. Five students from Carver School worked for $9$ days. The total amount paid for the students' work was $774. Assuming each student received the same amount for a day's work, how much did the students from Balboa School earn altogether?

$9.00

$48.38

$180.00

$193.50

$258.00

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 1090

Solución:

El total de días-estudiante es $7 \times 3 + 4 \times 5 + 5 \times 9$ $= 21 + 20 + 45$ $= 86.$

Así que cada día-estudiante paga $\$774 \div 86 = \$9.$ Balboa trabajó $20$ días-estudiante, ganando $20 \times \$9 = \$180.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total student-days are $7 \times 3 + 4 \times 5 + 5 \times 9$ $= 21 + 20 + 45$ $= 86.$

So each student-day pays $\$774 \div 86 = \$9.$ Balboa worked $20$ student-days, earning $20 \times \$9 = \$180.$

Thus, the correct answer is C .

17.

La tabla siguiente da el porcentaje de estudiantes en cada grado en las escuelas primarias Annville y Cleona. Los porcentajes para los grados K, $1, 2, 3, 4, 5, 6$ son: Annville: $16\%,$ $15\%,$ $15\%,$ $14\%,$ $13\%,$ $16\%,$ $11\%;$ Cleona: $12\%,$ $15\%,$ $14\%,$ $13\%,$ $15\%,$ $14\%,$ $17\%.$

Annville tiene $100$ estudiantes y Cleona tiene $200$ estudiantes. En las dos escuelas combinadas, ¿qué porcentaje de los estudiantes está en el grado $6$ ?

The table below gives the percent of students in each grade at Annville and Cleona elementary schools. The percentages for grades K, $1, 2, 3, 4, 5, 6$ are: Annville: $16\%,$ $15\%,$ $15\%,$ $14\%,$ $13\%,$ $16\%,$ $11\%;$ Cleona: $12\%,$ $15\%,$ $14\%,$ $13\%,$ $15\%,$ $14\%,$ $17\%.$

Annville has $100$ students and Cleona has $200$ students. In the two schools combined, what percent of the students are in grade $6?$

$12\%$

$13\%$

$14\%$

$15\%$

$28\%$

Conceptos:porcentaje media

Nivel de dificultad: 980

Solución:

Annville tiene $11\%$ de $100 = 11$ estudiantes de sexto grado, y Cleona tiene $17\%$ de $200 = 34$ estudiantes de sexto grado.

En conjunto, eso es $11 + 34 = 45$ de $300$ estudiantes, lo que es $\dfrac{45}{300} = 15\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Annville has $11\%$ of $100 = 11$ sixth graders, and Cleona has $17\%$ of $200 = 34$ sixth graders.

Combined, that is $11 + 34 = 45$ out of $300$ students, which is $\dfrac{45}{300} = 15\%.$

Thus, the correct answer is D .

18.

El área de cada una de las cuatro regiones congruentes en forma de L de este cuadrado de $100$ pulgadas por $100$ pulgadas es $\dfrac{3}{16}$ del área total. ¿Cuántas pulgadas mide el lado del cuadrado central?

The area of each of the four congruent L-shaped regions of this $100$ -inch by $100$ -inch square is $\dfrac{3}{16}$ of the total area. How many inches long is the side of the center square?

$25$

$44$

$50$

$62$

$75$

Conceptos:cuadrado (geometría)área

Nivel de dificultad: 980

Solución:

Las cuatro regiones en forma de L cubren $4 \times \dfrac{3}{16} = \dfrac34$ del cuadrado, así que el cuadrado central es el $\dfrac14$ restante del área total.

El área total es $100 \times 100 = 10000$ pulgadas cuadradas, así que el cuadrado central tiene área $\dfrac14 \times 10000 = 2500,$ y su lado es $\sqrt{2500} = 50$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The four L-shaped regions cover $4 \times \dfrac{3}{16} = \dfrac34$ of the square, so the center square is the remaining $\dfrac14$ of the total area.

The total area is $100 \times 100 = 10000$ square inches, so the center square has area $\dfrac14 \times 10000 = 2500,$ and its side is $\sqrt{2500} = 50$ inches.

Thus, the correct answer is C .

19.

La gráfica muestra la distribución del número de hijos en las familias de los estudiantes de la clase de inglés de la Sra. Jordan. La mediana del número de hijos por familia para esta distribución es

The graph shows the distribution of the number of children in the families of the students in Ms. Jordan's English class. The median number of children in the family for this distribution is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:mediana (datos)interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 960

Solución:

La gráfica indica $2$ familias con $1$ hijo, $1$ con $2,$ $2$ con $3,$ $2$ con $4,$ y $6$ con $5,$ para un total de $2 + 1 + 2 + 2 + 6 = 13$ familias.

La mediana es el valor número $7$ en orden. Al listar los tamaños de las familias, el valor número $7$ es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The graph gives $2$ families with $1$ child, $1$ with $2,$ $2$ with $3,$ $2$ with $4,$ and $6$ with $5,$ for $2 + 1 + 2 + 2 + 6 = 13$ families.

The median is the $7$ th value in order. Listing the family sizes, the $7$ th value is $4.$

Thus, the correct answer is D .

20.

Diana y Apollo lanzan cada uno un dado estándar obteniendo al azar un número del $1$ al $6.$ ¿Cuál es la probabilidad de que el número de Diana sea mayor que el número de Apollo?

Diana and Apollo each roll a standard die obtaining a number at random from $1$ to $6.$ What is the probability that Diana's number is larger than Apollo's number?

$\dfrac13$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac49$

$\dfrac{17}{36}$

$\dfrac12$

Conceptos:dados (probabilidad)simetría

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Hay $6 \times 6 = 36$ resultados igualmente probables, de los cuales $6$ son empates, dejando $30$ resultados con números distintos.

Por simetría, Diana es mayor en exactamente la mitad de ellos, es decir $15,$ así que la probabilidad es $\dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $6 \times 6 = 36$ equally likely outcomes, of which $6$ are ties, leaving $30$ outcomes with different numbers.

By symmetry, Diana is larger in exactly half of those, or $15,$ so the probability is $\dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.$

Thus, the correct answer is B .

21.

Un cubo de plástico que se ensambla tiene un conector saliente en una cara y agujeros receptores en las otras cinco caras. ¿Cuál es el menor número de estos cubos que se pueden ensamblar de modo que solo queden a la vista agujeros receptores?

A plastic snap-together cube has a protruding snap on one side and receptacle holes on the other five sides. What is the smallest number of these cubes that can be snapped together so that only receptacle holes are showing?

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

El único conector de cada cubo debe insertarse en el agujero de otro cubo para quedar oculto. Con uno, dos o tres cubos, siempre queda al menos un conector expuesto.

Cuatro cubos se pueden disponer en un anillo cuadrado, con cada conector encajando en el agujero del vecino, de modo que solo se ven agujeros receptores. El menor número es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Every cube's single snap must be plugged into another cube's hole to be hidden. With one, two, or three cubes, at least one snap is always left exposed.

Four cubes can be arranged in a square ring, each snap fitting into the neighbor's hole, so only receptacle holes show. The smallest number is $4.$

Thus, the correct answer is B .

22.

El número $6545$ se puede escribir como el producto de un par de números positivos de dos dígitos. ¿Cuál es la suma de este par de números?

The number $6545$ can be written as a product of a pair of positive two-digit numbers. What is the sum of this pair of numbers?

$162$

$172$

$173$

$174$

$222$

Conceptos:factorización en primos factor

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

La factorización en primos es $6545 = 5 \times 7 \times 11 \times 17.$ Para separarlo en dos factores de dos dígitos, empareja los primos: $5 \times 17 = 85$ y $7 \times 11 = 77.$

Este es el único par de dos dígitos, y su suma es $85 + 77 = 162.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The prime factorization is $6545 = 5 \times 7 \times 11 \times 17.$ To split into two two-digit factors, pair the primes: $5 \times 17 = 85$ and $7 \times 11 = 77.$

These are the only two-digit pair, and their sum is $85 + 77 = 162.$

Thus, the correct answer is A .

23.

¿Cuántos números enteros de cuatro dígitos hay tales que el dígito de más a la izquierda es impar, el segundo dígito es par y los cuatro dígitos son distintos?

How many four-digit whole numbers are there such that the leftmost digit is odd, the second digit is even, and all four digits are different?

$1120$

$1400$

$1800$

$2025$

$2500$

Conceptos:principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

El primer dígito es impar: $5$ opciones. El segundo es par: $5$ opciones (ninguna de las cuales repite el primer dígito impar).

El tercer dígito es cualquiera de los $8$ dígitos no usados, y el cuarto es cualquiera de los $7$ restantes. En total, $5 \times 5 \times 8 \times 7 = 1400.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first digit is odd: $5$ choices. The second is even: $5$ choices (none of which repeats the odd first digit).

The third digit is any of the $8$ unused digits, and the fourth is any of the $7$ remaining. In total, $5 \times 5 \times 8 \times 7 = 1400.$

Thus, the correct answer is B .

24.

En el paralelogramo $ABCD,$ $\overline{DE}$ es la altura sobre la base $\overline{AB}$ (con $E$ sobre $\overline{AB}$ ) y $\overline{DF}$ es la altura sobre la base $\overline{BC}.$ Si $DC = 12,$ $EB = 4,$ y $DE = 6,$ entonces $DF =$

In parallelogram $ABCD,$ $\overline{DE}$ is the altitude to the base $\overline{AB}$ (with $E$ on $\overline{AB}$ ) and $\overline{DF}$ is the altitude to the base $\overline{BC}.$ If $DC = 12,$ $EB = 4,$ and $DE = 6,$ then $DF =$

$6.4$

$7$

$7.2$

$8$

$10$

Conceptos:paralelogramo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Como $AB = DC = 12,$ obtenemos $AE = 12 - 4 = 8.$ En el triángulo rectángulo $ADE,$ $AD = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10,$ así que $BC = AD = 10.$

El área es $AB \cdot DE = 12 \cdot 6 = 72,$ y también $BC \cdot DF = 10 \cdot DF.$ Así que $DF = \dfrac{72}{10} = 7.2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB = DC = 12,$ we get $AE = 12 - 4 = 8.$ In right triangle $ADE,$ $AD = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10,$ so $BC = AD = 10.$

The area is $AB \cdot DE = 12 \cdot 6 = 72,$ and also $BC \cdot DF = 10 \cdot DF.$ So $DF = \dfrac{72}{10} = 7.2.$

Thus, the correct answer is C .

25.

Los autobuses de Dallas a Houston salen cada hora en punto. Los autobuses de Houston a Dallas salen cada hora a la media hora. El viaje de una ciudad a la otra dura $5$ horas. Suponiendo que los autobuses viajan por la misma carretera, ¿cuántos autobuses con destino a Dallas pasa un autobús con destino a Houston en la carretera (no en la estación)?

Buses from Dallas to Houston leave every hour on the hour. Buses from Houston to Dallas leave every hour on the half hour. The trip from one city to the other takes $5$ hours. Assuming the buses travel on the same highway, how many Dallas-bound buses does a Houston-bound bus pass on the highway (not in the station)?

$5$

$6$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1260

Solución:

Consideremos un autobús que sale de Dallas a las $6\!:\!00,$ y llega a Houston a las $11\!:\!00.$ Se cruza con todos los autobuses con destino a Dallas que están en la carretera durante ese intervalo.

Los autobuses con destino a Dallas salen de Houston a la media hora y tardan $5$ horas. Los que comparten la carretera (encontrándose lejos de una estación) son los que salieron de Houston a las $1\!:\!30, 2\!:\!30, \ldots, 10\!:\!30,$ es decir, $10$ autobuses.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Consider a bus leaving Dallas at $6\!:\!00,$ arriving in Houston at $11\!:\!00.$ It meets every Dallas-bound bus that is on the highway during that window.

Dallas-bound buses leave Houston on the half hour and take $5$ hours. The ones sharing the road (meeting away from a station) are those that left Houston at $1\!:\!30, 2\!:\!30, \ldots, 10\!:\!30,$ which is $10$ buses.

Thus, the correct answer is D .