Question

设字母 $F$ 、 $L$ 、 $Y$ 、 $B$ 、 $U$ 、 $G$ 表示互不相同的数字。假设 $\text{FLYFLY}$ 是满足下列方程的最大数： $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}$ 求 $\text{FLY} + \text{BUG}$ 。

Let the letters $F,$ $L,$ $Y,$ $B,$ $U,$ $G$ represent distinct digits. Suppose $\text{FLYFLY}$ is the greatest number that satisfies the equation $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}.$ What is the value of $\text{FLY} + \text{BUG}?$

$1089$

$1098$

$1107$

$1116$

$1125$

答案：C

知识点：数字谜位值最优化

难度评级：1540

小提示：

$\text{FLYFLY}=1001\cdot\text{FLY}$

大提示：

方程可化为 $8\cdot\text{FLY}=\text{BUG}$

The equation reduces to $8\cdot\text{FLY}=\text{BUG}$

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

首先注意到 $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ 同理， $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ 所以原方程可化为 $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}$ 。

因为 $\text{BUG}$ 是三位数，所以 $\text{FLY}\le124$ 。不超过 $124$ 且各位数字互异的最大三位数是 $124$ ，但 $8\cdot124=992$ 中有重复数字，而且还重复使用了数字 $2$ 。

下一个候选数是 $123$ ，且 $8\cdot123=984$ 。六个数字 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $9$ 、 $8$ 和 $4$ 互不相同，所以 $123$ 是 $\text{FLY}$ 的最大可能值。

因此 $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107 \end{gathered}\text{。}$

正确答案是 C。

Firstly, note that $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ and, similarly, $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ so the equation can be simplified to $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}.$

Because $\text{BUG}$ has three digits, $\text{FLY}\le124.$ The largest possible three-digit number at most $124$ with distinct digits is $124,$ but $8\cdot124=992$ repeats a digit and also reuses the digit $2.$

The next candidate is $123,$ and $8\cdot123=984.$ The six digits $1,$ $2,$ $3,$ $9,$ $8,$ and $4$ are all distinct, so $123$ is the greatest possible value of $\text{FLY}.$

Hence, $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107. \end{gathered}$

Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 8 第 15 题