Question

Nicolas 计划给朋友 Anton 寄一个包裹，Anton 是集邮爱好者。为了支付邮资，Nicolas 想用很多邮票贴满包裹。假设他有 $5$ 分、 $10$ 分和 $25$ 分邮票，每种正好 $20$ 张。Nicolas 最多能用多少张邮票凑成正好 $\$7.10$ 的邮资？

（注意： $\$7.10$ 表示 $7$ 美元 $10$ 美分。一美元等于 $100$ 美分。）

Nicolas is planning to send a package to his friend Anton, who is a stamp collector. To pay for the postage, Nicolas would like to cover the package with a large number of stamps. Suppose he has a collection of $5$ -cent, $10$ -cent, and $25$ -cent stamps, with exactly $20$ of each type. What is the greatest number of stamps Nicolas can use to make exactly $\$7.10$ in postage?

(Note: The amount $\$7.10$ corresponds to $7$ dollars and $10$ cents. One dollar is worth $100$ cents.)

$45$

$46$

$51$

$54$

$55$

答案：E

知识点：最优化模运算

难度评级：1480

视频讲解：

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文字解答：

目标金额是 $a,b,c$ 分。先尝试尽量用完所有 $5$ 分和 $10$ 分邮票。若用完全部五分和十分邮票，它们共值分。还需 $n=a+b+c$ 分，不能只用 $25$ 分邮票凑出。 $5$ $n+b+4c=142$ 。 $a+2b+5c=142,$

不过， $n\ge56$ 分可以用 $b+4c\le86$ 分邮票凑出。若 $2b+5c\ge122$ 分和 $c\le16$ 分邮票各用 $2b+5c\le2(20)+5(16)=120$ 张，它们共值分。此时还需 $55$ 分，也就是张分邮票。 $a=142-2b-5c\le20,$

总张数为 $a=19, b=19, c=17$ ： $19+19+17=55$ 。 $19(5)+19(10)+17(25)=710.$

所以正确答案是 E。

Let $a,b,c$ be the numbers of $5$ -, $10$ -, and $25$ -cent stamps, and let $n=a+b+c.$ Dividing the value equation by $5$ gives $a+2b+5c=142,$ so $n+b+4c=142.$

Suppose $n\ge56.$ Then $b+4c\le86.$ Also $a=142-2b-5c\le20,$ so $2b+5c\ge122.$ Combining these inequalities gives $c\le16,$ but then $2b+5c\le2(20)+5(16)=120,$ a contradiction. Thus at most $55$ stamps can be used.

The bound is attainable with $a=19, b=19, c=17:$ $19(5)+19(10)+17(25)=710.$ Hence the greatest possible number of stamps is $19+19+17=55.$

Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 8 第 14 题

答案：E

难度评级：1480

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其他年份的第 14 题