Question

尼古拉计划给朋友安东寄一个包裹，安东是集邮爱好者。为了支付邮资，尼古拉想用很多邮票贴满包裹。假设他有 $5$ 分、 $10$ 分和 $25$ 分邮票，每种正好 $20$ 张。尼古拉最多能用多少张邮票凑成正好 $\$7.10$ 的邮资？

（注意： $\$7.10$ 表示 $7$ 美元 $10$ 美分。一美元等于 $100$ 美分。）

Nicolas is planning to send a package to his friend Anton, who is a stamp collector. To pay for the postage, Nicolas would like to cover the package with a large number of stamps. Suppose he has a collection of $5$ -cent, $10$ -cent, and $25$ -cent stamps, with exactly $20$ of each type. What is the greatest number of stamps Nicolas can use to make exactly $\$7.10$ in postage?

(Note: The amount $\$7.10$ corresponds to $7$ dollars and $10$ cents. One dollar is worth $100$ cents.)

$45$

$46$

$51$

$54$

$55$

答案：E

知识点：最优化模运算

难度评级：1480

小提示：

尽量使用低面值邮票

Use as many low-value stamps as possible

大提示：

所有 $5$ 分和 $10$ 分邮票合计 $300$ 分，剩余不是 $25$ 的倍数

All $5$ - and $10$ -cent stamps total $300$ cents, leaving a nonmultiple of $25$

视频讲解：

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文字解答：

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $5$ 分、 $10$ 分、 $25$ 分邮票的张数，并设 $n=a+b+c$ 。金额方程除以 $5$ 得 $a+2b+5c=142\text{，}$ 所以 $n+b+4c=142$ 。

假设 $n\ge56$ ，则 $b+4c\le86$ 。又因为 $a=142-2b-5c\le20\text{，}$ 所以 $2b+5c\ge122$ 。合并这两个不等式可得 $c\le16$ ，但这样 $2b+5c\le2(20)+5(16)=120$ ，矛盾。因此最多只能使用 $55$ 张邮票。

取 $a=19$ 、 $b=19$ 、 $c=17$ 时可以达到这个上界： $19(5)+19(10)+17(25)=710\text{。}$ 此时邮票总数为 $19+19+17=55$ 。

所以正确答案是 E。

Let $a,$ $b,$ $c$ be the numbers of $5$ -, $10$ -, and $25$ -cent stamps, and let $n=a+b+c.$ Dividing the value equation by $5$ gives $a+2b+5c=142,$ so $n+b+4c=142.$

Suppose $n\ge56.$ Then $b+4c\le86.$ Also $a=142-2b-5c\le20,$ so $2b+5c\ge122.$ Combining these inequalities gives $c\le16,$ but then $2b+5c\le2(20)+5(16)=120,$ a contradiction. Thus at most $55$ stamps can be used.

The bound is attainable with $a=19,$ $b=19,$ $c=17:$ $19(5)+19(10)+17(25)=710.$ Hence the greatest possible number of stamps is $19+19+17=55.$

Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 8 第 14 题