Question

对任意正整数 $M$ ，记号 $M!$ 表示从 $1$ 到 $M$ 的所有整数的乘积。使 $5^n$ 成为的因数的最大整数 $n$ 是多少？ $98!+99!+100!$

For any positive integer $M,$ the notation $M!$ denotes the product of the integers $1$ through $M.$ What is the largest integer $n$ for which $5^n$ is a factor of the sum: $98!+99!+100!$

$23$

$24$

$25$

$26$

$27$

答案：D

知识点：阶乘勒让德公式

难度评级：1640

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文字解答：

该表达式可分解为 $98!$ ！ $\begin{aligned} 98!+99!+100! &=98!\bigl(1+99\\ &\qquad+100\cdot99\bigr)\\ &=98!\cdot100^2. \end{aligned}$

每个 $\left\lfloor98/5\right\rfloor+\left\lfloor98/25\right\rfloor$ 含有两个因子 $5$ 。 $98!$ 中因子 $5$ 的个数为 $19+3=22$ $100^2$ $22+4=26$ 。这分别统计了能被整除的数和能被整除的数，从而计入第二个因子。因此因子的总数为。

所以正确答案是 D。

Factor out $98!$ : $\begin{aligned} 98!+99!+100! &=98!\bigl(1+99\\ &\qquad+100\cdot99\bigr)\\ &=98!\cdot100^2. \end{aligned}$

The exponent of $5$ in $98!$ is $\left\lfloor98/5\right\rfloor+\left\lfloor98/25\right\rfloor$ , which equals $19+3=22.$ The factor $100^2$ contributes four more factors of $5$ , so the total exponent is $22+4=26.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 第 19 题

答案：D

难度评级：1640

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其他年份的第 19 题