Question

从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ 中可以移除多少个不同的二元素子集，使剩余九个数的平均数为 $6$ ？

How many subsets of two elements can be removed from the set $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ so that the mean (average) of the nine remaining numbers is $6?$

$1$

$2$

$3$

$5$

$6$

答案：D

知识点：平均数系统列举

难度评级：1030

小提示：

求剩余九个数必须有的总和

Find the sum the remaining nine numbers must have.

大提示：

因此被移除的两个数必须有固定的和

So the two removed numbers must have a fixed sum.

视频讲解：

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文字解答：

原集合的和为 $1+2+\cdots+11=66$ 。移除两个数后剩下 $9$ 个数，平均数要为 $6$ ，所以剩余数总和必须是 $9\cdot6=54$ 。

因此被移除的两个数之和必须是 $66-54=12$ 。可能的二元素子集为 $\{1,11\}$ 、 $\{2,10\}$ 、 $\{3,9\}$ 、 $\{4,8\}$ 、 $\{5,7\}$ ，共有 $5$ 种。

所以正确答案是 D。

The original set has sum $1+2+\cdots+11=66.$ After removing two numbers, $9$ numbers remain and must have mean $6,$ so their sum must be $9\cdot6=54.$

Therefore the two removed numbers must have sum $66-54=12.$ The possible two-element subsets are $\{1,11\},$ $\{2,10\},$ $\{3,9\},$ $\{4,8\},$ $\{5,7\},$ so there are $5$ choices.

Thus, D is the correct answer.

2015 AMC 8 第 13 题