Question

有多少个 $4$ -位正整数满足：四个数字互不相同，首位不是零，该整数是 $5$ 的倍数，并且 $5$ 是最大的数字？

How many $4$ -digit positive integers have four different digits, where the leading digit is not zero, the integer is a multiple of $5,$ and $5$ is the largest digit?

$24$

$48$

$60$

$84$

$108$

答案：D

知识点：有限制的排列分类讨论

难度评级：1690

解答：

一个数能被 $5$ 整除，个位数字必须是 $0$ 或 $5$ 。

如果个位数字是 $0$ ，另外三位中必须有一位是 $5$ 。剩下两位必须从 $\{1, 2, 3, 4\}$ 中选择。有 $6$ 种方式选这两个数字，并有 $6$ 种方式排列这三位数字，共 $6 \cdot 6 = 36$ 个数。

如果个位数字是 $5$ ，千位数字有 $4$ 种选择。选定千位后，另外 $2$ 位共有 $4 \cdot 3 = 12$ 种选择和排列方式。因此此情况共有 $4 \cdot 12 = 48$ 个数。

合并两种情况，总数为 $36 + 48 = 84$ 。

所以正确答案是 D。

For a number to be divisible by $5,$ the units digit must be either $0$ or $5.$

If the units digit is $0,$ one of the other three digits must be $5.$ The remaining two digits must be chosen from $\{1, 2, 3, 4\}.$ There are $6$ ways to choose the pair, and there are $6$ ways to arrange the three digits for a total of $6 \cdot 6 = 36$ numbers.

If the units digit is $5,$ there are $4$ ways to choose the thousands digit. There are $4 \cdot 3 = 12$ ways to choose the other $2$ digits. This leaves a total of $4 \cdot 12 = 48$ numbers for this case.

Combining both cases, we get the total number of such integers is $36 + 48 = 84.$

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 8 第 23 题

答案：D

难度评级：1690

解答：

其他年份的第 23 题