Question

如果图中的模式继续，第八个三角形内部有多少比例会被涂色？

If the pattern in the diagram continues, what fraction of the interior would be shaded in the eighth triangle?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{11}{45}$

第 $n$ 步有 $n^2$ 个小三角形。

At step $n,$ there are $n^2$ small triangles.

涂色数量为 $1+2+\cdots+(n-1)$ 。

The shaded count is $1+2+\cdots+(n-1).$

第 $n$ 个三角形有 $n^2$ 个小三角形。

涂色小三角形数为 $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 。

当 $n=8$ 时，涂色比例为 $\dfrac{\frac{8\cdot 7}{2}}{8^2}=\dfrac{7}{16}$ 。

所以正确答案是 C。

The $n$ th triangle has $n^2$ small triangles.

The number of shaded small triangles is $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}{2}.$

For $n=8,$ the shaded fraction is $\dfrac{\frac{8\cdot 7}{2}}{8^2}=\dfrac{7}{16}.$

Thus, the correct answer is C .