Question

在九个小方格中，每格放入一个 $\bigtriangleup$ 或 $\bigcirc$ ，这些方格组成一个 $3 \times 3$ 网格。下面显示了一个有三个 $\bigtriangleup$ 连成一线的示例。

有多少种配置同时有三个 $\bigtriangleup$ 连成一线，并且有三个 $\bigcirc$ 连成一线？

A $\bigtriangleup$ or $\bigcirc$ is placed in each of the nine squares in a $3 \times 3$ grid. Shown below is a sample configuration with three $\bigtriangleup$ ’s in a line.

How many configurations will have three $\bigtriangleup$ ’s in a line and three $\bigcirc$ ’s in a line?

$39$

$42$

$78$

$84$

$96$

答案：D

知识点：分类讨论对称性

难度评级：1670

小提示：

按网格中三角形的个数分类

Split by how many triangles are in the grid

大提示：

正好 $3$ 个三角形时，对角线三角形线不行

With exactly $3$ triangles, diagonal triangle lines do not work

解答：

设三角形个数为 $k$ 。要同时有三角形线和圆形线，必须有 $3\le k\le6$ 。

若 $k=3$ ，三角形必须成一条线。行或列有效，因为剩下的六个圆形中仍有完整的一行或一列；对角线无效，因为其余位置没有完整的圆形线。因此共有 $6$ 种 $k=3$ 的配置。由对称性，也有 $6$ 种 $k=6$ 的配置。

若 $k=4$ ，先选一条三角形线。若这条线是行或列，额外的三角形有 $6$ 个位置可选，每一种都可行，因为总有一条平行的行或列全是圆形，共 $6\cdot6=36$ 种；若这条线是对角线，则无论额外的三角形放在哪里，都不能留下完整的圆形线。由对称性， $k=5$ 也有 $36$ 种。

总数为 $6+36+36+6=84$ 。

正确答案是 D。

Let $k$ be the number of triangles. To have both a triangle line and a circle line, we need $3\le k\le6$ .

If $k=3$ , the three triangles must form a line. A row or column works, because the remaining six circles contain a full circle row or column. A diagonal does not work, because its complement contains no full line of circles. Thus there are $6$ configurations for $k=3$ . By symmetry, there are also $6$ configurations for $k=6$ .

If $k=4$ , choose the triangle line and then the extra triangle. If the line is a row or column, all $6$ possible extra positions work, because one parallel row or column remains all circles. This gives $6\cdot6=36$ configurations. If the triangle line is a diagonal, no extra position leaves a full circle line. By symmetry, $k=5$ also gives $36$ configurations.

The total number of configurations is $6+36+36+6=84$ .

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 8 第 23 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题