Question

若两个实数 $x$ 与 $y$ 满足方程 $\dfrac xy=x-y$ ，则：

If two real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $\dfrac xy=x-y,$ then:

$x\ge4$ 或 $x\le0$ ，其中 $x\ge a$ 表示 $x$ 可以取任意大于 $a$ 或等于 $a$ 的值

$x\ge4$ or $x\le0,$ where $x\ge a$ means that $x$ can take any value greater than $a$ or equal to $a$

$y$ 可以等于 $1$

$y$ can equal $1$

$x$ 与 $y$ 必须都是无理数

both $x$ and $y$ must be irrational

$x$ 与 $y$ 不能同时为整数

$x$ and $y$ cannot both be integers

$x$ 与 $y$ 必须都是有理数

both $x$ and $y$ must be rational

答案：A

知识点：分式方程二次方程不等式

难度评级：1830

小提示：

清除分母，并把结果看作关于 $y$ 的二次方程

Clear the denominator and regard the result as a quadratic equation in $y$

大提示：

要使 $y$ 为实数，判别式 $x^2-4x$ 必须非负

Real $y$ requires the discriminant $x^2-4x$ to be nonnegative

解答：

因为 $y\ne0$ ，两边乘以 $y$ ，得到 $x=xy-y^2\text{，}$ 即 $y^2-xy+x=0$ 。要使 $y$ 为实数，判别式必须满足 $x^2-4x=x(x-4)\ge0\text{。}$ 因此 $x\le0$ 或 $x\ge4$ 。

因此，正确答案是 A。

Since $y\ne0,$ multiplying by $y$ gives $x=xy-y^2,$ or $y^2-xy+x=0.$ For a real value of $y,$ its discriminant must satisfy $x^2-4x=x(x-4)\ge0.$ Thus $x\le0$ or $x\ge4.$

Therefore, the correct answer is A.

1957 AMC 12 第 45 题

答案：A

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 45 题