Given that \log_10 \sin x + \log_10 \cos x = -1 and that \log_10(\sin x + \cos x) = (1)/(2)(\log_10 n - 1), find n.

2003 AIME I Problem 4 — Solution

2003 AIME I Problem 4

Below is the professionally curated solution for Problem 4 of the 2003 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2003 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:logarithm trigonometric identity

Difficulty rating: 1990

Given that $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$ and that $\log_{10}(\sin x + \cos x) = \frac{1}{2}(\log_{10} n - 1),$ find $n.$

Answer

Solution:

The first equation says $\log_{10}(\sin x \cos x) = -1,$ so $\sin x \cos x = \frac{1}{10}.$ Then $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \frac{2}{10} = \frac{12}{10}.$

Taking logarithms, $2\log_{10}(\sin x + \cos x) = \log_{10} \frac{12}{10} = \log_{10} 12 - 1,$ so $\log_{10}(\sin x + \cos x) = \frac{1}{2}(\log_{10} 12 - 1)$ and $n = 12.$

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