2026 AMC 8 第 25 题

Question

一个等角六边形的所有内角都是

120^\circ

。图中例子边长依次为

2

、

3

、

1

、

3

、

2

和

2

，并且这个六边形内接于等边三角形

\triangle ABC

。考虑所有边长为正整数、内接于三角形

ABC

的等角六边形，六个顶点都在三角形边上。按旋转和反射视为相同，一共有多少种？

In an equiangular hexagon, all interior angles measure

120^\circ.

An example of such a hexagon with side lengths of

2,

3,

1,

3,

2,

and

2

is shown below, inscribed in equilateral triangle

ABC.

Consider all equiangular hexagons with positive integer side lengths that can be inscribed in

\triangle ABC,

with all six vertices on the sides of the triangle. What is the total number of such hexagons? Hexagons that differ only by a rotation or a reflection are considered the same.

4

5

6

7

8

答案：E

知识点：等角多边形等边三角形系统列举

难度评级：2000

小提示：

设

x,y,z

分别为三角形顶点

A,B,C

处截下的小边长。

Let

x,y,z

be the small corner lengths at

A,B,C

大提示：

三角形边长为

6

，所以需要

x+y

、

y+z

、

z+x

都小于

6

。

The triangle side is

6

, so

x+y

,

y+z

, and

z+x

are all less than

6

视频讲解：

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文字解答：

图中例子说明

\triangle ABC

的每条边长为

6

。设靠近三个顶点

A,B,C

的小边长分别为

x,y,z

。六边形另外三条边长分别为

6-x-y

、

6-y-z

和

6-z-x

。所有六条边都是正整数，当且仅当

x,y,z

是正整数且每两者之和都小于

6

。按旋转和反射视为相同，只需数无序三元组

x\le y\le z

且

y+z\lt6

：

(1,1,1)

、

(1,1,2)

、

(1,1,3)

、

(1,1,4)

、

(1,2,2)

、

(1,2,3)

、

(2,2,2)

和

(2,2,3)

。共有

8

种。

The example shows that each side of

\triangle ABC

has length

6

. Let

x,y,z

be the small corner lengths cut off at

A,B,C

, respectively. Then the other three side lengths of the hexagon are

6-x-y

,

6-y-z

, and

6-z-x

. All six side lengths are positive integers exactly when

x,y,z

are positive integers and each pair sum is less than

6

. Up to rotation and reflection, this means counting unordered triples

x\le y\le z

with

y+z\lt6

:

(1,1,1)

,

(1,1,2)

,

(1,1,3)

,

(1,1,4)

,

(1,2,2)

,

(1,2,3)

,

(2,2,2)

, and

(2,2,3)

. There are

8

such hexagons.

2026 AMC 8 第 25 题

答案：E

难度评级：2000

小提示：

大提示：

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文字解答：

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