Question

一个等角六边形的所有内角都是 $120^\circ$ 。图中例子边长依次为 $2$ 、 $3$ 、 $1$ 、 $3$ 、 $2$ 和 $2$ ，并且这个六边形内接于等边三角形 $\triangle ABC$ 。考虑所有边长为正整数、内接于三角形 $ABC$ 的等角六边形，六个顶点都在三角形边上。按旋转和反射视为相同，一共有多少种？

In an equiangular hexagon, all interior angles measure $120^\circ.$ An example of such a hexagon with side lengths of $2,$ $3,$ $1,$ $3,$ $2,$ and $2$ is shown below, inscribed in equilateral triangle $ABC.$ Consider all equiangular hexagons with positive integer side lengths that can be inscribed in $\triangle ABC,$ with all six vertices on the sides of the triangle. What is the total number of such hexagons? Hexagons that differ only by a rotation or a reflection are considered the same.

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：E

知识点：等角多边形等边三角形系统列举

难度评级：2000

视频讲解：

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文字解答：

图中例子说明 $\triangle ABC$ 的每条边长为 $6$ 。设靠近三个顶点 $A,B,C$ 的小边长分别为 $x,y,z$ 。六边形另外三条边长分别为 $6-x-y$ 、 $6-y-z$ 和 $6-z-x$ 。所有六条边都是正整数，当且仅当 $x,y,z$ 是正整数且每两者之和都小于 $6$ 。按旋转和反射视为相同，只需数无序三元组 $x\le y\le z$ 且 $y+z\lt6$ ： $(1,1,1)$ 、 $(1,1,2)$ 、 $(1,1,3)$ 、 $(1,1,4)$ 、 $(1,2,2)$ 、 $(1,2,3)$ 、 $(2,2,2)$ 和 $(2,2,3)$ 。共有 $8$ 种。

The example shows that each side of $\triangle ABC$ has length $6$ . Let $x,y,z$ be the small corner lengths cut off at $A,B,C$ , respectively. Then the other three side lengths of the hexagon are $6-x-y$ , $6-y-z$ , and $6-z-x$ . All six side lengths are positive integers exactly when $x,y,z$ are positive integers and each pair sum is less than $6$ . Up to rotation and reflection, this means counting unordered triples $x\le y\le z$ with $y+z\lt6$ : $(1,1,1)$ , $(1,1,2)$ , $(1,1,3)$ , $(1,1,4)$ , $(1,2,2)$ , $(1,2,3)$ , $(2,2,2)$ , and $(2,2,3)$ . There are $8$ such hexagons.

2026 AMC 8 第 25 题

答案：E

难度评级：2000

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