2023 AMC 8 第 21 题

Question

阿丽娜把数字

1

、

2

、

\cdots

、

9

分别写在卡片上，每张卡片写一个数。她想把这些卡片分成

3

组，每组

3

张，使每组数字之和相同。有多少种分法？

Alina writes the numbers

1,

2,

\cdots,

9

on separate cards, one number per card. She wishes to divide the cards into

3

groups of

3

cards so that the sum of the numbers in each group will be the same. In how many ways can this be done?

0

1

2

3

4

答案：C

知识点：分拆与有序分拆分类讨论

难度评级：1690

小提示：

每组和必须为

15

Each group must have sum

15

大提示：

先看包含

9

的那一组

Look at the group containing

9

视频讲解：

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文字解答：

所有数字的总和为

\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45

，所以每组和必须为

45 \div 3 = 15

。

含

9

的组中，另外两个数和为

6

。可能是

1

和

5

，或

2

和

4

。

情况 $1$ ：一组是

1

、

5

和

9

。

考虑含

8

的那组，另外两个数必须和为

7

。唯一选择是

3

和

4

。

剩下的一组是

2

、

6

和

7

，其和为

15

，所以这种情况给出一种分法。

情况 $2$ ：一组是

2

、

4

和

9

。

同理，含

8

的那组另外两个数和为

7

。唯一选择是

1

和

6

。

最后一组是

3

、

5

和

7

，其和为

15

，这又给出一种分法。

所有情况都已检查，共有

2

种分法。

所以正确答案是 C。

The sum of all the numbers is

\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.

This means that the sum of each group is

45 \div 3 = 15.

Consider the group with

9

in it. The other two numbers must add to

6.

Therefore, the other cards in this group are

1

and

5

or

2

and

4.

Case $1:$ One group is

1,

5,

and

9.

Consider the group with

8

in it. The other numbers must add to

7.

The only option is

3

and

4

with the remaining cards.

The other group is then

2,

6,

and

7.

This adds to

15,

so this case contributes one possibility.

Case $2:$ One group is

2,

4,

and

9.

Consider the group with

8

in it. As above, the other numbers have to add to

7.

The only option is

1

and

6.

The final group is

3,

5,

and

7,

which adds to

15.

This is another configuration.

We have gone through all the cases, which revealed that there are only

2

possible groupings.

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 第 21 题

答案：C

难度评级：1690

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文字解答：

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