2020 AMC 8 第 12 题

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12.

对正整数 nn,阶乘记号 n!n! 表示从 nn 到 11 的所有整数的乘积。例如:
6!=6×5×4×3×2×1 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
哪个 NN 满足下面的方程?
5!×9!=12×N! 5! \times 9! = 12 \times N!
For a positive integer n,n, the factorial notation n!n! represents the product of the integers from nn to 1.1. For example:
6!=6×5×4×3×2×1 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
What value of NN satisfies the following equation?
5!×9!=12×N! 5! \times 9! = 12 \times N!
1010
1111
1212
1313
1414
答案:A
知识点:阶乘
小提示:
从 5!5! 中消去因子 1212
Cancel the factor 1212 from 5!5!
大提示:
把 5!5! 改写成方便与 1212 抵消的形式
Rewrite 5!5! so the factor 1212 cancels cleanly
视频讲解:
解答视频缩略图
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文字解答:
因为 5!=120=12⋅105!=120=12\cdot10,原方程可写成 12⋅10⋅9!=12⋅N!。 12\cdot10\cdot9!=12\cdot N!\text{。}两边约去 1212,得到 N!=10⋅9!=10!N!=10\cdot9!=10!,所以 N=10N=10。
正确答案是 A。
Because 5!=120=12⋅10,5!=120=12\cdot10, the equation becomes 12⋅10⋅9!=12⋅N!. 12\cdot10\cdot9!=12\cdot N!. Canceling 1212 gives N!=10⋅9!=10!,N!=10\cdot9!=10!, so N=10.N=10.
Thus, the correct answer is A.
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