2018 AMC 8 第 25 题

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25.

在 28+12^8+1 和 218+12^{18}+1 之间(含端点)有多少个完全立方数?
How many perfect cubes lie between 28+12^8+1 and 218+1,2^{18}+1, inclusive?
44
99
1010
5757
5858
答案:E
知识点:完全幂区间内整数计数
小提示:
区间中的完全立方数形如 n3n^3
A perfect cube in the interval has the form n3n^3.
大提示:
把上下界与 63,73,6436^3,7^3,64^3 和 65365^3 比较
Compare the bounds to 63,73,643,6^3,7^3,64^3, and 65365^3.
视频讲解:
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文字解答:
因为 63=216<2576^3=216<257,且 257<343=73257<343=7^3,区间内最小的完全立方数是 737^3。又因为 643=218<218+1<65364^3=2^{18}<2^{18}+1<65^3,最大的完全立方数是 64364^3。
所以整数立方根为 7,8,…,647,8,\ldots,64,共有 64−7+1=5864-7+1=58 个。
所以正确答案是 E。
Because 63=216<2576^3=216<257 and 257<343=73257<343=7^3, the smallest cube in the interval is 737^3. Also, 643=218<218+1<65364^3=2^{18}<2^{18}+1<65^3, so the largest cube is 64364^3.
The integer cube roots are therefore 7,8,…,647,8,\ldots,64, a total of 64−7+1=5864-7+1=58.
Thus, E is the correct answer.
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