2017 AMC 8 第 25 题

Question

如图，

\overline{US}

和

\overline{UT}

都是长度为

2

的线段，且

m\angle TUS = 60^\circ

。

弧

\overset{\large\frown}{TR}

和

\overset{\large\frown}{SR}

都是半径为

2

的圆的六分之一。图中区域面积是多少？

In the figure shown,

\overline{US}

and

\overline{UT}

are line segments each of length

2,

and

m\angle TUS = 60^\circ.

Arcs

\overset{\large\frown}{TR}

and

\overset{\large\frown}{SR}

are each one-sixth of a circle with radius

2.

What is the area of the region shown?

3\sqrt{3}-\pi

4\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}

2\sqrt{3}

4\sqrt{3}-\dfrac{2\pi}{3}

4+\dfrac{4\pi}{3}

答案：B

知识点：等边三角形扇形面积分割

难度评级：1750

小提示：

延长两条直边，形成一个等边三角形

Extend the two straight sides to form an equilateral triangle.

大提示：

从该等边三角形中减去两个圆心角为

60^\circ

、半径为

2

的扇形。

Subtract two

60^\circ

sectors of radius

2

from that equilateral triangle.

视频讲解：

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文字解答：

可以延长

\overline{SU}

和

\overline{TU}

，形成如下图形。

所求面积等于边长为

4

的等边三角形面积，减去两个半径为

2

的六分之一圆面积。边长为

s

的等边三角形面积为

\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}

。因此总面积为

\dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{3} \pi \cdot 2^2 = 4 \sqrt{3} - \dfrac{4}{3} \pi

。

所以正确答案是 B。

We can extend

\overline{SU}

and

\overline{TU}

to form the following picture.

The area of this region is the area of an equilateral triangle with side length of

4

minus the area of two-sixths of a circle with radius

2.

The area for an equilateral triangle with side length

s

is

\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.

This means that the total area is

\dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{3} \pi \cdot 2^2 = 4 \sqrt{3} - \dfrac{4}{3} \pi.

Thus, B is the correct answer.