2011 AMC 8 第 17 题

Question

设

w

、

x

、

y

、

z

为非负整数。若

2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588\text{，}

那么

2w + 3x + 5y + 7z

等于多少？

Let

w,

x,

y,

and

z

be whole numbers. If

2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588,

then what does

2w + 3x + 5y + 7z

equal?

21

25

27

35

56

答案：A

知识点：质因数分解

难度评级：1140

小提示：

匹配

2

、

3

、

5

、

7

的指数

Match the exponents of

2

,

3

,

5

, and

7

.

大提示：

对

588

作质因数分解

Prime-factorize

588

.

解答：

为了找到所需指数，注意所有底数都是质数。因此质因数分解会有帮助。

有

588 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2\text{。}

由此可知

w = 2

、

x = 1

、

y = 0

且

z = 2

，其中

y = 0

使

5^y

这一项等于

1

。

代入这些指数可得

\begin{gather*} 2w + 3x + 5y + 7z \\ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 7 \cdot 2 \\ = 21 \end{gather*}\text{。}

所以正确答案是 A。

To find the desired exponents, note that all the bases are prime numbers. This means that finding the prime factorization will be helpful.

We get that

588 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2.

From this, it is clear that

w = 2,

x = 1,

y = 0,

and

z = 2

(

y = 0

since that makes the

5^y

term equal

1

).

Therefore,

\begin{gather*} 2w + 3x + 5y + 7z \\ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 7 \cdot 2 \\ = 21. \end{gather*}

Thus, A is the correct answer.

2011 AMC 8 第 17 题

答案：A

难度评级：1140

小提示：

大提示：

解答：

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