Question

图形 $OPQR$ 是正方形。点 $O$ 是原点，点 $Q$ 的坐标是 $(2, 2)$ 。点 $T$ 的坐标应是多少，才能使三角形 $PQT$ 的面积等于正方形 $OPQR$ 的面积？

Figure $OPQR$ is a square. Point $O$ is the origin, and point $Q$ has coordinates $(2, 2).$ What are the coordinates for $T$ so that the area of triangle $PQT$ equals the area of square $OPQR?$

$(-6, 0)$

$(-4, 0)$

$(-2, 0)$

$(2, 0)$

$(4, 0)$

答案：C

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1090

小提示：

正方形边长是 $2$ ，面积为 $4$ ；同时 $P = (2, 0)$ ，底边 $PQ$ 是长度为 $2$ 的竖直线段。

The square has side $2,$ so its area is $4;$ also $P = (2, 0)$ and the base $PQ$ is vertical with length $2$

大提示：

若 $T = (t, 0)$ ，则它到直线 $PQ$ 的水平距离为 $\lvert 2 - t\rvert$ 。

If $T = (t, 0),$ its horizontal distance from line $PQ$ is $\lvert 2 - t\rvert$

解答：

因为 $OPQR$ 是正方形，且 $O = (0, 0)$ 、 $Q = (2, 2)$ ，所以 $P = (2, 0)$ 、 $R = (0, 2)$ ，正方形面积为 $2^2 = 4$ 。

三角形 $PQT$ 的竖直底边 $PQ$ 长为 $2$ 。若 $T = (t, 0)$ 位于 $x$ 轴上，它的面积是 $\tfrac12 \cdot 2 \cdot \lvert 2 - t\rvert = \lvert 2 - t\rvert$ 。令 $\lvert 2 - t\rvert = 4$ ，得到 $t = -2$ 或 $t = 6$ 。选项中只有 $t = -2$ ，所以 $T = (-2, 0)$ 。

所以正确答案是 C。

Since $OPQR$ is a square with $O = (0, 0)$ and $Q = (2, 2),$ we have $P = (2, 0)$ and $R = (0, 2),$ so the area is $2^2 = 4.$

Triangle $PQT$ has vertical base $PQ$ of length $2,$ and $T = (t, 0)$ lies on the $x$ -axis. Its area is $\tfrac12 \cdot 2 \cdot \lvert 2 - t\rvert = \lvert 2 - t\rvert.$ Setting $\lvert 2 - t\rvert = 4$ gives $t = -2$ or $t = 6.$ Only $t = -2$ appears among the choices, so $T = (-2, 0).$

Thus, the correct answer is C .

1996 AMC 8 第 17 题

答案：C

难度评级：1090

小提示：

大提示：

解答：

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