Question

有 $24$ 个四位整数，每个都恰好使用数字 $2, 4, 5$ 和 $7$ 各一次。这些四位数中，只有一个是另一个的倍数。下列哪一个是这个倍数？

There are $24$ four-digit whole numbers that use each of the four digits $2, 4, 5,$ and $7$ exactly once. Only one of these four-digit numbers is a multiple of another one. Which of the following is it?

$5724$

$7245$

$7254$

$7425$

$7542$

答案：D

知识点：排列整除性分类讨论

难度评级：1680

解答：

一个在 $4000$ 、 $5000$ 或 $7000$ 范围内的数乘以 $2$ 或更大的数后，不可能仍是这些四位排列之一。因此较小的数必须以 $2$ 开头，较大的数必须是它的两倍或三倍。

对于两倍，只有以 $4$ 结尾的选项可能。但 $5724/2=2862$ ， $7254/2=3627$ ，都没有恰好使用数字 $2,4,5,7$ 。

对于三倍，可能的选项是能被 $3$ 整除的 $7245,7425,7542$ 。分别除以三得到 $2415,2475,2514$ ，只有 $2475$ 恰好使用所需数字。

因此 $7425=3\cdot2475$ 是唯一列出的倍数。

所以正确答案是 D。

A number in the $4000$ , $5000$ , or $7000$ range cannot be multiplied by $2$ or more and remain one of the given four-digit permutations. So the smaller number must start with $2$ , and the larger number must be either double or triple it.

For doubles, only answer choices ending in $4$ can work. But $5724/2=2862$ and $7254/2=3627$ , neither of which uses exactly the digits $2,4,5,7$ .

For triples, the possible answer choices are those divisible by $3$ : $7245,7425,7542$ . Dividing gives $2415,2475,2514$ , and only $2475$ uses exactly the required digits.

Therefore $7425=3\cdot2475$ is the unique listed multiple.

Thus, D is the correct answer.

2001 AMC 8 第 25 题

答案：D

难度评级：1680

解答：

其他年份的第 25 题