1998 AMC 8 第 23 题

Question

如果图中的模式继续，第八个三角形内部有多少比例会被涂色？

If the pattern in the diagram continues, what fraction of the interior would be shaded in the eighth triangle?

\dfrac{3}{8}

\dfrac{5}{27}

\dfrac{7}{16}

\dfrac{9}{16}

\dfrac{11}{45}

第

n

步有

n^2

个小三角形。

At step

n,

there are

n^2

small triangles.

涂色数量为

1+2+\cdots+(n-1)

。

The shaded count is

1+2+\cdots+(n-1).

第

n

个三角形有

n^2

个小三角形。

涂色小三角形数为

1+2+\cdots+(n-1)

=\dfrac{n(n-1)}{2}

。

当

n=8

时，涂色比例为

\dfrac{\frac{8\cdot 7}{2}}{8^2}=\dfrac{7}{16}

。

所以正确答案是 C。

The

n

th triangle has

n^2

small triangles.

The number of shaded small triangles is

1+2+\cdots+(n-1)

=\dfrac{n(n-1)}{2}.

For

n=8,

the shaded fraction is

\dfrac{\frac{8\cdot 7}{2}}{8^2}=\dfrac{7}{16}.

Thus, the correct answer is C .

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