1998 AMC 8 第 12 题

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12.

下列表达式的值是多少？

\begin{aligned} &2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) \\ &\quad {}+4\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots \\ &\quad {}+10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}

What is the value of the following expression?

\begin{aligned} &2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) \\ &\quad {}+4\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots \\ &\quad {}+10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}

45

49

50

54

55

答案：A

知识点：求和代数变形

难度评级：1090

小提示：

化简每一项

n(1-\frac{1}{n})

。

Simplify each term

n(1-\frac{1}{n}).

大提示：

这些项会变成连续整数

The terms become consecutive integers.

解答：

令

n

依次取从

2

到

10

的整数，

n\left(1-\frac{1}{n}\right)=n-1\text{。}

因此原式为

1+2+\cdots+9=45

。

所以正确答案是 A。

For each integer

n

from

2

through

10,

n\left(1-\frac{1}{n}\right)=n-1.

The expression is therefore

1+2+\cdots+9=45.

Thus, the correct answer is A .