Question

有一些正整数满足：

I. 它们各位数字的平方和为 $50$ ，并且

II. 每个数字都大于它左边的数字。

满足这两个条件的最大整数，其各位数字的乘积是

There are positive integers that have these properties:

I. the sum of the squares of their digits is $50,$ and

II. each digit is larger than the one to its left.

The product of the digits of the largest integer with both properties is

$7$

$25$

$36$

$48$

$60$

答案：C

知识点：数字分类讨论

难度评级：1670

解答：

如果这个数有五位，最小的递增正数字会使平方和为 $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$ ，已经太大。因此最大的有效数最多有四位。

对于四位数 $abcd$ ，其中 $0<a<b<c<d$ ，末位不能是 $7$ 或更大，因为即使是 $1^2+2^2+3^2+7^2=63>50$ 。

尝试 $d=6$ ，其余数字的平方和必须是 $50-36=14$ ，而 $1^2+2^2+3^2=14$ 。这给出有效数 $1236$ 。

任何以 $5$ 或更小数字结尾的数都小于 $1236$ ，所以最大的有效整数是 $1236$ 。

它的各位数字乘积为 $1\cdot2\cdot3\cdot6=36$ 。

所以正确答案是 C。

If the number had five digits, the smallest possible increasing positive digits would give square-sum $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55,$ already too large. So the largest valid number has at most four digits.

For a four-digit number $abcd$ with $0<a<b<c<d$ , the last digit cannot be $7$ or larger, since even $1^2+2^2+3^2+7^2=63>50$ .

Trying $d=6,$ the remaining squares must sum to $50-36=14,$ and $1^2+2^2+3^2=14.$ This gives the valid number $1236.$

Any number ending with $5$ or less is smaller than $1236,$ so the largest valid integer is $1236.$

The product of its digits is $1\cdot2\cdot3\cdot6=36.$

Thus, C is the correct answer.

1997 AMC 8 第 23 题

答案：C

难度评级：1670

解答：

其他年份的第 23 题