1997 AMC 8 第 23 题
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23.
有一些正整数满足：
I. 它们各位数字的平方和为 ，并且
II. 每个数字都大于它左边的数字。
满足这两个条件的最大整数，其各位数字的乘积是
There are positive integers that have these properties:
I. the sum of the squares of their digits is and
II. each digit is larger than the one to its left.
The product of the digits of the largest integer with both properties is
小提示：
从可能的最大末位数字开始尝试，并逐步降低
Try the largest possible final digit and work downward
大提示：
如果数字太多，最小平方和也会太大
More digits make the minimum square-sum too large
解答：
如果这个数有五位，最小的递增正数字会使平方和为 ，已经太大。因此最大的有效数最多有四位。
对于四位数 ，其中 ，末位不能是 或更大，因为即使是 。
尝试 ，其余数字的平方和必须是 ，而 。这给出有效数 。
任何以 或更小数字结尾的数都小于 ，所以最大的有效整数是 。
它的各位数字乘积为 。
所以正确答案是 C。
If the number had five digits, the smallest possible increasing positive digits would give square-sum already too large. So the largest valid number has at most four digits.
For a four-digit number with , the last digit cannot be or larger, since even .
Trying the remaining squares must sum to and This gives the valid number
Any number ending with or less is smaller than so the largest valid integer is
The product of its digits is
Thus, C is the correct answer.
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