Question

有多少个正整数 $N$ 满足 $(N \gt 0)$ ，使表达式

$\frac{36}{N+2}$

是整数？

For how many positive integer values of $N$ $(N \gt 0)$ is the expression

$\frac{36}{N+2}$

an integer?

$7$

$8$

$9$

$10$

$12$

$\dfrac{36}{N+2}$ 是整数，当且仅当 $N+2$ 是 $36$ 的因数

$\dfrac{36}{N+2}$ is an integer exactly when $N+2$ is a divisor of $36$

因为 $N \gt 0$ ，所以只计算 $36$ 的大于 $2$ 的因数

Since $N \gt 0,$ only divisors of $36$ that are greater than $2$ count

表达式为整数时， $N+2$ 必须整除 $36$ 。 $36$ 的正因数是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $9$ 、 $12$ 、 $18$ 、 $36$ 。

因为 $N \gt 0$ ，所以 $N + 2 \gt 2$ ，可用的因数是 $3$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $9$ 、 $12$ 、 $18$ 、 $36$ ，共有 $7$ 个值。

所以正确答案是 A。

The expression is an integer when $N+2$ divides $36.$ The divisors of $36$ are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ $36.$

Because $N \gt 0,$ we need $N + 2 \gt 2,$ leaving the divisors $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ $36$ : that is $7$ values.

Thus, the correct answer is A .