Question

有多少个正三位整数除以 $6$ 余 $2$ ，除以九余 $5$ ，并且除以 $11$ 余 $7$ ？

How many positive three-digit integers have a remainder of $2$ when divided by $6,$ a remainder of $5$ when divided by 9, and a remainder of $7$ when divided by $11?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：E

知识点：中国剩余定理最小公倍数区间内整数计数

难度评级：1490

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文字解答：

设这个数为 $4$ 。我们知道 $x+4$ 。 $6,9$ ， $11$ $x+4$ $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198$ 。

第一个条件说明因此同样，第二个条件说明因此最后，第三个条件说明因此合起来看，这三个条件表示 $x$ ， $104\le x+4\le1003$ ，且 $198,396,594,792,990$ ，所以因此。又因为，这个区间中共有 $5$ 个 $198$ 的倍数。

正确答案是 E。

Each required remainder is $4$ less than its divisor, so $x+4$ must be divisible by $6,9,$ and $11$ . Hence $x+4$ is a multiple of $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198.$

For a three-digit $x$ , we have $104\le x+4\le1003$ . The multiples of $198$ in this interval are $198,396,594,792,990$ , giving $5$ possible integers.

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 8 第 21 题

答案：E

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其他年份的第 21 题