2017 AMC 8 第 21 题

Question

假设

a

、

b

和

c

是非零实数，且

a+b+c=0

。下列表达式可能的值是什么

\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}\text{？}

Suppose

a,

b,

and

c

are nonzero real numbers, and

a+b+c=0.

What are the possible value(s) for

\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}?

0

1

和

-1

1

and

-1

2

和

-2

2

and

-2

0

、

2

和

-2

0

,

2

, and

-2

0

、

1

和

-1

0

,

1

, and

-1

答案：A

知识点：绝对值分类讨论

难度评级：1510

小提示：

因为

a+b+c=0

，三个数不可能同号

Because

a+b+c=0

, the three numbers cannot all have the same sign.

大提示：

每个分式

\dfrac{x}{|x|}

只是

x

的符号

Each fraction

\dfrac{x}{|x|}

is just the sign of

x

.

视频讲解：

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文字解答：

因为

a+b+c=0

且三个数都不为零，所以它们的符号只能是两个正数、一个负数，或两个负数、一个正数。第一种情况下，前三个符号分式的和为

1

，而

\dfrac{abc}{|abc|}=-1

；第二种情况下，前三个分式的和为

-1

，而

\dfrac{abc}{|abc|}=1

。无论哪种情况，整个表达式都等于

0

。

所以正确答案是 A。

Because

a+b+c=0

and none of the numbers is zero, their signs are either two positive and one negative or two negative and one positive. In the first case, the first three sign fractions sum to

1

, while

\dfrac{abc}{|abc|}=-1

. In the second case, the first three sum to

-1