Question

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC$ 是直角。如图， $\triangle ABC$ 的三边分别作为半圆的直径。以 $\overline{AB}$ 为直径的半圆面积为 $8\pi$ ，以 $\overline{AC}$ 为直径的半圆的弧长为 $8.5\pi$ 。以 $\overline{BC}$ 为直径的半圆半径是多少？

In $\triangle ABC$ , $\angle ABC$ is a right angle. The sides of $\triangle ABC$ are the diameters of semicircles as shown. The area of the semicircle on $\overline{AB}$ equals $8\pi,$ and the arc of the semicircle on $\overline{AC}$ has length $8.5\pi.$ What is the radius of the semicircle on $\overline{BC}?$

$7$

$7.5$

$8$

$8.5$

$9$

答案：B

知识点：勾股定理圆面积弧

难度评级：1720

视频讲解：

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文字解答：

$\overline{AB}$ 上的半圆面积为 $8\pi$ ，所以对应整圆面积为 $16\pi$ 。其半径为 $4$ ，因此 $AB=8$ 。

半径为 $r$ 的半圆弧长为 $\pi r$ 。因为 $\overline{AC}$ 上的弧长为 $8.5\pi$ ，其半径为 $8.5$ ，所以 $AC=17$ 。

在直角三角形 $ABC$ 中，由勾股定理，因此 $\overline{BC}$ 上半圆的半径为 $15/2=7.5$ 。 $BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15.$

所以正确答案是 B。

The semicircle on $\overline{AB}$ has area $8\pi$ , so its full circle would have area $16\pi$ . Its radius is therefore $4$ , and $AB=8$ .

A semicircle of radius $r$ has arc length $\pi r$ . Since the arc on $\overline{AC}$ has length $8.5\pi$ , its radius is $8.5$ , so $AC=17$ .

Using the Pythagorean theorem in right triangle $ABC$ , $BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15.$ The radius of the semicircle on $\overline{BC}$ is $15/2=7.5$ .

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 8 第 23 题

答案：B

难度评级：1720

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