Question

正整数 $x$ 和 $y$ 是满足下列条件的两个最小正整数： $360$ 与 $x$ 的乘积是平方数，且 $360$ 与 $y$ 的乘积是立方数。 $x$ 与 $y$ 的和是多少？

The positive integers $x$ and $y$ are the two smallest positive integers for which the product of $360$ and $x$ is a square and the product of $360$ and $y$ is a cube. What is the sum of $x$ and $y?$

$80$

$85$

$115$

$165$

$610$

答案：B

知识点：质因数分解完全平方数完全幂

难度评级：1400

解答：

一个数是完全平方数时，质因数分解中每个指数都必须是偶数。一个数是立方数时，指数都必须能被 $3$ 整除。

分解 $360$ ，得要让 $360x$ 成为完全平方数且 $x$ 最小， $x$ 必须提供一个因子 $2$ 和一个因子 $5$ 。因此可取 $x = 10$ 。 $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.$

要让 $360y$ 成为立方数， $y$ 必须提供一个因子 $3$ 和两个因子 $5$ 。因此可取 $y = 75$ ，所以 $x + y = 85$ 。

所以正确答案是 B。

For a number to be a perfect square, every exponent in the prime factorization must be even. For it to be a cube, the exponents must be divisible by $3.$

We can factor $360$ to get $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.$ For $360x$ to be a perfect square and $x$ to be minimized, $x$ must have one factor of $2$ and one factor of $5.$ Therefore, we can let $x = 10.$

For $360y$ to be a cube, $y$ must have one factor of $3$ and two factors of $5.$ Therefore, we can let $y = 75,$ suggesting $x + y = 85.$

Thus, B is the correct answer.

2009 AMC 8 第 17 题

答案：B

难度评级：1400

解答：

其他年份的第 17 题