2009 AMC 8 第 17 题

Question

正整数

x

和

y

是满足下列条件的两个最小正整数：

360

与

x

的乘积是平方数，且

360

与

y

的乘积是立方数。

x

与

y

的和是多少？

The positive integers

x

and

y

are the two smallest positive integers for which the product of

360

and

x

is a square and the product of

360

and

y

is a cube. What is the sum of

x

and

y?

80

85

115

165

610

答案：B

知识点：质因数分解完全平方数完全幂

难度评级：1400

小提示：

将

360

分解为质因数

Factor

360

into primes.

大提示：

平方数要求指数为偶数，立方数要求指数为

3

的倍数

Make exponents even for a square and multiples of

3

for a cube.

解答：

一个数是完全平方数时，质因数分解中每个指数都必须是偶数。一个数是立方数时，指数都必须能被

3

整除。

分解

360

，得

360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\text{。}

要让

360x

成为完全平方数且

x

最小，

x

必须提供一个因子

2

和一个因子

5

。因此可取

x = 10

。

要让

360y

成为立方数，

y

必须提供一个因子

3

和两个因子

5

。因此可取

y = 75

，所以

x + y = 85

。

所以正确答案是 B。

For a number to be a perfect square, every exponent in the prime factorization must be even. For it to be a cube, the exponents must be divisible by

3.

We can factor

360

to get

360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.

For

360x

to be a perfect square and

x

to be minimized,

x

must have one factor of

2

and one factor of

5.

Therefore, we can let

x = 10.

For

360y

to be a cube,

y

must have one factor of

3

and two factors of

5.

Therefore, we can let

y = 75,

suggesting

x + y = 85.

Thus, B is the correct answer.

2009 AMC 8 第 17 题

答案：B

难度评级：1400

小提示：

大提示：

解答：

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