Question

等腰直角三角形 $ABC$ 包含一个面积为 $2\pi$ 的半圆。圆心 $O$ 在斜边 $\overline{AB}$ 上，并且圆与边 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 相切。三角形 $ABC$ 的面积是多少？

Isosceles right triangle $ABC$ encloses a semicircle of area $2\pi.$ The circle has its center $O$ on hypotenuse $\overline{AB}$ and is tangent to sides $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ What is the area of triangle $ABC?$

$6$

$8$

$3 \pi$

$10$

$4 \pi$

答案：B

知识点：圆面积对称性

难度评级：1610

解答：

将三角形和半圆关于斜边 $\overline{AB}$ 反射，会形成一个内切于正方形的整圆。

半圆面积为 $2\pi$ ，所以整圆面积为 $4\pi$ ，半径为 $2$ 。因此正方形边长为 $4$ 。

正方形面积为 $16$ ，原三角形面积是其一半，即 $8$ 。

所以正确答案是 B。

Reflect the triangle and semicircle across hypotenuse $\overline{AB}$ . This forms a full circle inscribed in a square.

The semicircle has area $2\pi$ , so the full circle has area $4\pi$ and radius $2$ . The square side length is therefore $4$ .

The square area is $16$ , so the original triangle has half that area, $8$ .

Thus, B is the correct answer.

2005 AMC 8 第 23 题

答案：B

难度评级：1610

解答：

其他年份的第 23 题