Question

点 $R$ 、 $S$ 和 $T$ 是一个等边三角形的顶点，点 $X$ 、 $Y$ 和 $Z$ 是它各边的中点。用这六个点中的任意三个作为顶点，可以画出多少个互不全等的三角形？

Points $R,$ $S$ and $T$ are vertices of an equilateral triangle, and points $X,$ $Y$ and $Z$ are midpoints of its sides. How many noncongruent triangles can be drawn using any three of these six points as vertices?

$1$

$2$

$3$

$4$

$20$

答案：D

知识点：图形中的形状计数全等（几何）对称性

难度评级：1650

解答：

以小等边三角形的边长为一个单位，可能的三角形边长模式有：

边长为 $2,2,2$ 的等边三角形；边长为 $1,1,1$ 的等边三角形；边长为 $1,1,\sqrt3$ 的小等腰三角形；以及边长为 $1,\sqrt3,2$ 的较大等腰三角形。

这四种模式都在图中出现，而且由对称性可知，用六个点中任意三个形成的三角形都属于其中一种。

因此有 $4$ 个互不全等的三角形。

所以正确答案是 D。

Using the side length of the small equilateral triangles as one unit, the possible triangle side-length patterns are:

equilateral with sides $2,2,2$ ; equilateral with sides $1,1,1$ ; small isosceles with sides $1,1,\sqrt3$ ; and larger isosceles with sides $1,\sqrt3,2$ .

These four patterns all occur in the figure, and symmetry shows every triangle formed by three of the six points matches one of them.

Thus there are $4$ noncongruent triangles.

Thus, D is the correct answer.

2001 AMC 8 第 23 题

答案：D

难度评级：1650

解答：

其他年份的第 23 题