Soluciones del 1989 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\begin{aligned} &(1 + 11 + 21 + 31 + 41) \\ &\quad {}+ (9 + 19 + 29 + 39 + 49) \end{aligned}$

What is the value of

$\begin{aligned} &(1 + 11 + 21 + 31 + 41) \\ &\quad {}+ (9 + 19 + 29 + 39 + 49)? \end{aligned}$

$150$

$199$

$200$

$249$

$250$

Conceptos:emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Busca pares de términos que se combinen para formar números redondos

Look for pairs of terms that combine into round numbers

Pista grande:

Empareja $1$ con $49$ , $11$ con $39$ , y así sucesivamente; cada par suma $50$

Pairing $1$ with $49,$ $11$ with $39,$ and so on, each pair sums to $50$

Solución:

Empareja los términos de modo que cada par sume $50$ : $1 + 49$ , $11 + 39$ , $21 + 29$ , $31 + 19$ y $41 + 9$ .

Hay $5$ pares en total, así que la suma es $5 \times 50 = 250$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Pair the terms so each pair sums to $50$ : $1 + 49,$ $11 + 39,$ $21 + 29,$ $31 + 19,$ and $41 + 9.$

There are $5$ such pairs, so the total is $5 \times 50 = 250.$

Thus, the correct answer is E .

2.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\frac{2}{10} + \frac{4}{100} + \frac{6}{1000}$

What is the value of

$\frac{2}{10} + \frac{4}{100} + \frac{6}{1000}?$

$0.012$

$0.0246$

$0.12$

$0.246$

$246$

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Escribe cada fracción como decimal usando su valor posicional

Write each fraction as a decimal using its place value

Pista grande:

$\frac{2}{10} = 0.2$ , $\frac{4}{100} = 0.04$ y $\frac{6}{1000} = 0.006$ .

$\frac{2}{10} = 0.2,$ $\frac{4}{100} = 0.04,$ and $\frac{6}{1000} = 0.006$

Solución:

Cada fracción es un decimal en una posición distinta: $\frac{2}{10} = 0.2$ , $\frac{4}{100} = 0.04$ y $\frac{6}{1000} = 0.006$ .

Al sumarlas se obtiene $0.2 + 0.04 + 0.006 = 0.246$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each fraction is a decimal in a different place: $\frac{2}{10} = 0.2,$ $\frac{4}{100} = 0.04,$ and $\frac{6}{1000} = 0.006.$

Adding these gives $0.2 + 0.04 + 0.006 = 0.246.$

Thus, the correct answer is D .

3.

¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

Which of the following numbers is the largest?

$0.99$

$0.9099$

$0.9$

$0.909$

$0.9009$

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Da a cada número la misma cantidad de cifras decimales agregando ceros

Give every number the same number of decimal places by appending zeros

Pista grande:

Compara cifra por cifra de izquierda a derecha; la posición de las centésimas decide entre los números que empiezan por $0.9$

Compare digit by digit from the left; the hundredths place decides between the leading $0.9$ numbers

Solución:

Escribe cada número con cuatro cifras decimales: $0.9900$ , $0.9099$ , $0.9000$ , $0.9090$ , $0.9009$ .

Comparando desde la izquierda, $0.9900$ tiene la mayor cifra en las centésimas, así que $0.99$ es el mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write each number with four decimal places: $0.9900,$ $0.9099,$ $0.9000,$ $0.9090,$ $0.9009.$

Comparing from the left, $0.9900$ has the largest hundredths digit, so $0.99$ is the largest.

Thus, the correct answer is A .

4.

Estima para determinar cuál de los siguientes valores está más cerca de la expresión de abajo.

$\frac{401}{0.205}.$

Estimate to determine which of the following is closest to

$\frac{401}{0.205}.$

$0.2$

$2$

$20$

$200$

$2000$

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Redondea $401$ y $0.205$ a números sencillos

Round $401$ and $0.205$ to simple numbers

Pista grande:

$\frac{401}{0.205} \approx \frac{400}{0.2}$

Solución:

Redondea el numerador y el denominador: $\frac{401}{0.205} \approx \frac{400}{0.2}$ .

Como $\frac{400}{0.2} = 2000$ , el valor está más cerca de $2000$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Round the numerator and denominator: $\frac{401}{0.205} \approx \frac{400}{0.2}.$

Since $\frac{400}{0.2} = 2000,$ the value is closest to $2000.$

Thus, the correct answer is E .

5.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$-15 + 9 \times (6 \div 3)$

What is the value of

$-15 + 9 \times (6 \div 3)?$

$-48$

$-12$

$-3$

$3$

$12$

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Sigue el orden de las operaciones: primero los paréntesis, luego la multiplicación y por último la suma

Follow the order of operations: parentheses first, then multiplication, then addition

Pista grande:

$6 \div 3 = 2$ , así que la expresión se convierte en $-15 + 9 \times 2$ .

$6 \div 3 = 2,$ so the expression becomes $-15 + 9 \times 2$

Solución:

Dentro del paréntesis, $6 \div 3 = 2$ . Luego la multiplicación va antes que la suma, así que $9 \times 2 = 18$ .

Finalmente, $-15 + 18 = 3$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Inside the parentheses, $6 \div 3 = 2.$ Then multiplication comes before addition, so $9 \times 2 = 18.$

Finally, $-15 + 18 = 3.$

Thus, the correct answer is D .

6.

Si las marcas de la recta numérica mostrada están igualmente espaciadas, ¿cuál es el número $y$ ?

If the markings on the number line shown are equally spaced, what is the number $y?$

$3$

$10$

$12$

$15$

$16$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Cuenta cuántos espacios iguales hay entre $0$ y $20$

Count how many equal spaces lie between $0$ and $20$

Pista grande:

Hay $5$ espacios iguales de $0$ a $20$ , así que cada espacio mide $\frac{20}{5} = 4$ ; luego cuenta cuántos espacios hay hasta $y$

There are $5$ spaces from $0$ to $20,$ so each space is $\frac{20}{5} = 4;$ then count the spaces up to $y$

Solución:

De $0$ a $20$ hay $5$ espacios iguales, así que cada espacio mide $\frac{20}{5} = 4$ .

La marca $y$ está a $3$ espacios de $0$ , así que $y = 3 \times 4 = 12$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From $0$ to $20$ there are $5$ equal spaces, so each space is $\frac{20}{5} = 4.$

The mark labeled $y$ is $3$ spaces from $0,$ so $y = 3 \times 4 = 12.$

Thus, the correct answer is C .

7.

El valor de $20$ monedas de veinticinco centavos y $10$ monedas de diez centavos es igual al valor de $10$ monedas de veinticinco centavos y $n$ monedas de diez centavos. ¿Cuánto vale $n$ ?

The value of $20$ quarters and $10$ dimes equals the value of $10$ quarters and $n$ dimes. What is $n?$

$10$

$20$

$30$

$35$

$45$

Conceptos:dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Primero halla el valor total de $20$ monedas de veinticinco centavos y $10$ monedas de diez centavos

First find the total value of $20$ quarters and $10$ dimes

Pista grande:

Después de usar $10$ monedas de veinticinco centavos, halla cuánto valor deben aportar las monedas de diez centavos restantes y luego divide entre $10$ centavos

After using $10$ quarters, find how much value the remaining dimes must supply, then divide by $10$ ¢

Solución:

El valor de $20$ monedas de veinticinco centavos y $10$ monedas de diez centavos es $\$5.00 + \$1.00 = \$6.00$ .

Diez monedas de veinticinco centavos valen $\$2.50$ , así que las $n$ monedas de diez centavos deben aportar $\$6.00 - \$2.50 = \$3.50$ . Eso equivale a $35$ monedas de diez centavos, por lo que $n = 35$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The value of $20$ quarters and $10$ dimes is $\$5.00 + \$1.00 = \$6.00.$

Ten quarters are worth $\$2.50,$ so the $n$ dimes must supply $\$6.00 - \$2.50 = \$3.50.$ That is $35$ dimes, so $n = 35.$

Thus, the correct answer is D .

8.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$(2 \times 3 \times 4)\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)$

What is the value of

$(2 \times 3 \times 4)\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)?$

$1$

$3$

$9$

$24$

$26$

Conceptos:propiedad distributiva fracción

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

$2 \times 3 \times 4 = 24$ ; distribúyelo entre las tres fracciones

$2 \times 3 \times 4 = 24;$ distribute it across the three fractions

Pista grande:

Distribuye el producto entre cada término del paréntesis para obtener $24 \cdot \frac{1}{2} + 24 \cdot \frac{1}{3} + 24 \cdot \frac{1}{4}$ , y luego suma

$24 \cdot \frac{1}{2} + 24 \cdot \frac{1}{3} + 24 \cdot \frac{1}{4}$

Solución:

Como $2 \times 3 \times 4 = 24$ , distribúyelo sobre la suma: $24 \cdot \frac{1}{2} + 24 \cdot \frac{1}{3} + 24 \cdot \frac{1}{4}$ .

Esto es igual a $12 + 8 + 6 = 26$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $2 \times 3 \times 4 = 24,$ distribute it over the sum: $24 \cdot \frac{1}{2} + 24 \cdot \frac{1}{3} + 24 \cdot \frac{1}{4}.$

This equals $12 + 8 + 6 = 26.$

Thus, the correct answer is E .

9.

En la clase de matemáticas de la señora Johnson hay $2$ niños por cada $3$ niñas. Si en su clase hay $30$ estudiantes, ¿qué porcentaje de ellos son niños?

There are $2$ boys for every $3$ girls in Ms. Johnson’s math class. If there are $30$ students in her class, what percent of them are boys?

$12\%$

$20\%$

$40\%$

$60\%$

$66\dfrac{2}{3}\%$

Conceptos:razón y proporción porcentaje

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Por cada $2$ niños hay $3$ niñas, así que los niños son $2$ de cada $5$ estudiantes

For every $2$ boys there are $3$ girls, so boys are $2$ out of every $5$ students

Pista grande:

Convierte la fracción $\frac{2}{5}$ en un porcentaje

Convert the fraction $\frac{2}{5}$ to a percent

Solución:

Los niños representan $2$ de cada $2 + 3 = 5$ estudiantes, es decir, $\frac{2}{5}$ de la clase. El total de $30$ estudiantes ni siquiera hace falta.

Como porcentaje, $\frac{2}{5} = 40\%$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Boys make up $2$ out of every $2 + 3 = 5$ students, which is $\frac{2}{5}$ of the class. The total of $30$ students is not even needed.

As a percent, $\frac{2}{5} = 40\%.$

Thus, the correct answer is C .

10.

¿Cuántos grados mide el ángulo menor entre la manecilla de las horas y el minutero de un reloj que marca las siete en punto?

How many degrees are in the smaller angle between the hour hand and the minute hand of a clock that reads seven o’clock?

$50^\circ$

$120^\circ$

$135^\circ$

$150^\circ$

$165^\circ$

Conceptos:reloj

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Las $12$ marcas de las horas dividen la esfera del reloj en $12$ ángulos iguales

The $12$ hour marks split the clock face into $12$ equal angles

Pista grande:

Cada marca de hora mide $30^\circ$ ; a las siete en punto las manecillas están separadas $5$ marcas por el lado corto

Each hour mark is $30^\circ;$ at seven o’clock the hands are $5$ marks apart the short way

Solución:

Los $12$ números dividen el reloj en $12$ secciones iguales de $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ cada una.

A las siete en punto las manecillas apuntan a $12$ y $7$ , que están separadas $5$ secciones por el lado corto, lo que da $5 \times 30^\circ = 150^\circ$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $12$ numbers divide the clock into $12$ equal sections of $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ each.

At seven o’clock the hands point to $12$ and $7,$ which are $5$ sections apart the short way, giving $5 \times 30^\circ = 150^\circ.$

Thus, the correct answer is D .

11.

¿Cuál de las cinco “figuras en forma de T” sería simétrica a la mostrada respecto a la línea discontinua?

Which of the five “T-like shapes” would be symmetric to the one shown with respect to the dashed line?

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Dos figuras son simétricas respecto a la línea discontinua cuando, al doblar el papel por esa línea, una cae exactamente sobre la otra

Two figures are symmetric across the dashed line when folding the paper along that line makes one land exactly on the other

Pista grande:

Una reflexión respecto a una línea vertical mantiene fijos arriba y abajo, pero intercambia izquierda y derecha; sigue dónde queda el pequeño cuadrado de la esquina y cómo giran los trazos inclinados

A reflection across a vertical line keeps top and bottom fixed but swaps left and right; track where the small corner square ends up and how the slanted strokes turn

Solución:

Dos figuras son simétricas respecto a la línea discontinua cuando, al doblar el papel por esa línea, una coincide con la otra. Reflejar respecto a la línea discontinua vertical intercambia izquierda y derecha y deja arriba y abajo sin cambios.

Con esta reflexión, el pequeño cuadrado de la esquina superior izquierda pasa a la esquina superior derecha, la barra recta invierte su inclinación y el tallo que apunta hacia abajo y a la derecha pasa a apuntar hacia abajo y a la izquierda. Solo una opción tiene estas tres características.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Two figures are symmetric with respect to the dashed line when folding the paper along that line makes one coincide with the other. Reflecting across the vertical dashed line swaps left and right while leaving top and bottom unchanged.

Under this reflection the small square in the top-left corner moves to the top-right corner, the straight crossbar reverses its slant, and the stem that points down and to the right must instead point down and to the left. Only one choice has all three of these features.

Thus, the correct answer is B .

12.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\frac{1 - \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}}$

What is the value of

$\frac{1 - \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{4}{3}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Simplifica el numerador y el denominador por separado

Simplify the numerator and denominator separately

Pista grande:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ y $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ; luego divide

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ and $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$ then divide

Solución:

El numerador es $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ y el denominador es $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Al dividir se obtiene $\frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times 2 = \frac{4}{3}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numerator is $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3},$ and the denominator is $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$

Dividing gives $\frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times 2 = \frac{4}{3}.$

Thus, the correct answer is E .

13.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a la expresión de abajo?

$\frac{9}{7 \times 53}$

Which of the following is equal to

$\frac{9}{7 \times 53}?$

$\dfrac{0.9}{0.7 \times 53}$

$\dfrac{0.9}{0.7 \times 0.53}$

$\dfrac{0.9}{0.7 \times 5.3}$

$\dfrac{0.9}{7 \times 0.53}$

$\dfrac{0.09}{0.07 \times 0.53}$

Conceptos:fracción valor posicional

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Dividir el numerador y uno de los factores del denominador entre el mismo número deja la fracción sin cambios

Dividing the numerator and one factor of the denominator by the same number keeps the fraction unchanged

Pista grande:

Para convertir $9$ en $0.9$ , divide entre $10$ ; para mantener el valor igual, divide también uno de los factores del denominador entre $10$

To turn $9$ into $0.9,$ divide by $10;$ to keep the value equal, divide one factor of the denominator by $10$ as well

Solución:

Para reescribir el numerador $9$ como $0.9$ , divídelo entre $10$ . Para mantener la fracción igual, divide el denominador entre $10$ también, lo que significa dividir uno de sus factores entre $10$ .

Dividir el factor $7$ entre $10$ da $\frac{0.9}{0.7 \times 53}$ , que es igual a la original. Cada una de las otras opciones cambia el valor por un factor de $10$ o $100$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

To rewrite the numerator $9$ as $0.9,$ divide it by $10.$ To keep the fraction equal, divide the denominator by $10$ too, which means dividing one of its factors by $10.$

Dividing the factor $7$ by $10$ gives $\frac{0.9}{0.7 \times 53},$ which equals the original. Each other choice changes the value by a factor of $10$ or $100.$

Thus, the correct answer is A .

14.

Al colocar cada uno de los dígitos $2$ , $4$ , $5$ , $6$ y $9$ en exactamente una de las casillas de esta resta, ¿cuál es la menor diferencia posible?

When placing each of the digits $2,$ $4,$ $5,$ $6,$ $9$ in exactly one of the boxes of this subtraction problem, what is the smallest difference that is possible?

$58$

$123$

$149$

$171$

$176$

Conceptos:valor posicional optimización

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Haz el número de tres cifras lo más pequeño posible y el de dos cifras lo más grande posible

Make the three-digit number as small as possible and the two-digit number as large as possible

Pista grande:

El mayor número de dos cifras con estos dígitos usa $9$ y $6$ ; forma el menor número de tres cifras con los dígitos que quedan

The largest two-digit number from these digits uses $9$ and $6;$ build the smallest three-digit number from the digits that remain

Solución:

La diferencia es mínima cuando el número de tres cifras (el de arriba) es lo más pequeño posible y el de dos cifras (el que se resta) es lo más grande posible.

El mayor número de dos cifras es $96$ , usando los dígitos $9$ y $6$ . El menor número de tres cifras con los dígitos restantes $2$ , $4$ , $5$ es $245$ , así que la menor diferencia es $245 - 96 = 149$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The difference is smallest when the three-digit number (the top) is as small as possible and the two-digit number (subtracted) is as large as possible.

The largest two-digit number is $96,$ using the digits $9$ and $6.$ The smallest three-digit number from the remaining digits $2,$ $4,$ $5$ is $245.$ So the smallest difference is $245 - 96 = 149.$

Thus, the correct answer is C .

15.

En el paralelogramo $ABCD$ mostrado, ¿cuál es el área de la región sombreada $BEDC$ ?

In parallelogram $ABCD$ shown, what is the area of the shaded region $BEDC?$

$24$

$48$

$60$

$64$

$80$

Conceptos:paralelogramo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

La región sombreada es todo el paralelogramo menos el triángulo $ABE$

The shaded region is the whole parallelogram with the triangle $ABE$ removed

Pista grande:

El área del paralelogramo es $10 \times 8$ ; el triángulo $ABE$ tiene base $AE = 10 - 6$ y altura $8$ .

The parallelogram area is $10 \times 8;$ triangle $ABE$ has base $AE = 10 - 6$ and height $8$

Solución:

El paralelogramo tiene base $10$ y altura $8$ , así que su área es $10 \times 8 = 80$ .

El triángulo no sombreado $ABE$ tiene base $AE = AD - ED = 10 - 6 = 4$ y altura $8$ , así que su área es $\frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$ . El área sombreada es $80 - 16 = 64$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The parallelogram has base $10$ and height $8,$ so its area is $10 \times 8 = 80.$

The unshaded triangle $ABE$ has base $AE = AD - ED = 10 - 6 = 4$ and height $8,$ so its area is $\frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16.$ The shaded area is $80 - 16 = 64.$

Thus, the correct answer is D .

16.

¿De cuántas maneras se puede escribir $47$ como la suma de dos números primos?

In how many ways can $47$ be written as the sum of two primes?

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Conceptos:primo paridad

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

$47$ es impar, así que uno de los dos primos debe ser par

$47$ is odd, so one of the two primes must be even

Pista grande:

El único primo par es $2$ , lo que obligaría a que el otro número sea $45$ .

The only even prime is $2,$ which would force the other prime to be $45$

Solución:

Como $47$ es impar, una suma de dos primos igual a $47$ necesita un primo par y uno impar. El único primo par es $2$ .

Eso exigiría que el otro número fuera $47 - 2 = 45$ , pero $45 = 9 \times 5$ no es primo. Así que no hay ninguna manera.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $47$ is odd, a sum of two primes equal to $47$ needs one even prime and one odd prime. The only even prime is $2.$

That would require the other number to be $47 - 2 = 45,$ but $45 = 9 \times 5$ is not prime. So there is no way.

Thus, the correct answer is A .

17.

El número $N$ está entre $9$ y $17$ . ¿Cuál de los siguientes podría ser el promedio de $6$ , $10$ y $N$ ?

The number $N$ is between $9$ and $17.$ Which of the following could be the average of $6,$ $10,$ and $N?$

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Conceptos:media desigualdad

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

El promedio es $\frac{6 + 10 + N}{3}$ ; halla su valor en cada extremo del rango de $N$

The average is $\frac{6 + 10 + N}{3};$ find its value at each end of the range for $N$

Pista grande:

Cuando $N$ va de $9$ a $17$ , el promedio va de $\frac{25}{3}$ a $11$

As $N$ runs from $9$ to $17,$ the average runs from $\frac{25}{3}$ to $11$

Solución:

El promedio es $\frac{6 + 10 + N}{3} = \frac{16 + N}{3}$ . Cuando $N = 9$ esto es $\frac{25}{3} \approx 8.3$ , y cuando $N = 17$ es $11$ .

Así que el promedio está estrictamente entre aproximadamente $8.3$ y $11$ . Entre las opciones, solo $10$ cae en este rango.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The average is $\frac{6 + 10 + N}{3} = \frac{16 + N}{3}.$ When $N = 9$ this is $\frac{25}{3} \approx 8.3,$ and when $N = 17$ it is $11.$

So the average lies strictly between about $8.3$ and $11.$ Among the choices, only $10$ falls in this range.

Thus, the correct answer is B .

18.

Una calculadora tiene una tecla de recíproco que reemplaza el número mostrado por su recíproco. Por ejemplo, si la pantalla muestra $4$ y se presiona la tecla, la pantalla pasa a $0.25$ . Si actualmente se muestra $32$ , ¿cuál es el menor número de veces que hay que presionar la tecla de recíproco para que la pantalla vuelva a mostrar $32$ ?

A calculator has a reciprocal key that replaces the number currently displayed with its reciprocal. For example, if the display shows $4$ and the key is pressed, the display becomes $0.25.$ If $32$ is currently displayed, what is the fewest number of times the reciprocal key must be pressed so that the display again reads $32?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:función fracción

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Presionar la tecla una vez convierte $32$ en $\frac{1}{32}$ .

Pressing the key once turns $32$ into $\frac{1}{32}$

Pista grande:

El recíproco del recíproco de un número es el número mismo

The reciprocal of the reciprocal of a number is the number itself

Solución:

Presionar la tecla una vez cambia $32$ por su recíproco $\frac{1}{32}$ .

Presionarla una segunda vez toma el recíproco de nuevo, regresando a $\frac{1}{\frac{1}{32}} = 32$ . Así que $2$ presiones bastan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Pressing the key once changes $32$ to its reciprocal $\frac{1}{32}.$

Pressing it a second time takes the reciprocal again, returning to $\frac{1}{\frac{1}{32}} = 32.$ So $2$ presses are enough.

Thus, the correct answer is B .

19.

La gráfica muestra el gasto acumulado, en millones de dólares, del gobierno de Surf City durante $1988.$ Por ejemplo, para principios de febrero se habían gastado alrededor de $0.5$ millones y para finales de abril aproximadamente $2$ millones. ¿Aproximadamente cuántos millones de dólares se gastaron durante los meses de verano de junio, julio y agosto?

The graph below shows the total accumulated dollars (in millions) spent by the Surf City government during $1988.$ For example, about $0.5$ million had been spent by the beginning of February and approximately $2$ million by the end of April. Approximately how many millions of dollars were spent during the summer months of June, July, and August?

$1.5$

$2.5$

$3.5$

$4.5$

$5.5$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas estimación

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Como la gráfica muestra un total acumulado, lo gastado en un lapso de meses es el aumento de ese total a lo largo del lapso

Because the graph shows an accumulated total, the amount spent over a span of months is the increase in that total across the span

Pista grande:

Lee la altura de la curva al comienzo de junio y al final de agosto, y luego resta los dos valores

Read the height of the curve at the beginning of June and at the end of August, then subtract the two values

Solución:

La gráfica da el gasto total acumulado, así que lo gastado durante junio, julio y agosto es igual al total acumulado al final de agosto menos el total acumulado al comienzo de junio.

La curva está un poco por encima de $2$ millones al comienzo de junio y un poco por encima de $4.5$ millones para finales de agosto. La diferencia es de aproximadamente $4.5 - 2 = 2.5$ millones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The graph gives the total accumulated spending, so the amount spent during June, July, and August equals the accumulated total at the end of August minus the accumulated total at the beginning of June.

The curve is at a bit more than $2$ million at the beginning of June and a bit more than $4.5$ million by the end of August. The difference is about $4.5 - 2 = 2.5$ million.

Thus, the correct answer is B .

20.

La figura mostrada se puede doblar por las líneas para formar un cubo numerado. En cada vértice del cubo se juntan tres caras. ¿Cuál es la mayor suma de tres números cuyas caras se juntan en un vértice?

The figure shown may be folded along the lines to form a number cube. Three faces come together at each corner of the cube. What is the largest sum of three numbers whose faces come together at a corner?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)optimización

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Un vértice usa tres caras mutuamente adyacentes, así que ninguna pareja de ellas puede ser caras opuestas

A corner uses three faces that are mutually adjacent, so no two of them can be opposite faces

Pista grande:

Al doblar el desarrollo, los pares de caras opuestas son $1$ y $3$ , $2$ y $5$ , y $4$ y $6$ ; toma la mayor de cada par

Folding the net, the opposite face pairs are $1$ & $3,$ $2$ & $5,$ and $4$ & $6;$ take the larger of each pair

Solución:

Al doblar el desarrollo, los pares de caras opuestas son $1$ y $3$ , $2$ y $5$ , y $4$ y $6$ . Tres caras que se juntan en un vértice deben tomar una de cada par opuesto.

Para maximizar la suma, toma el mayor número de cada par: $3$ , $5$ y $6$ . Estas tres caras sí se juntan en un vértice, y su suma es $3 + 5 + 6 = 14$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When the net is folded, the pairs of opposite faces are $1$ and $3,$ $2$ and $5,$ and $4$ and $6.$ Three faces meeting at a corner must come one from each opposite pair.

To maximize the sum, take the larger number from each pair: $3,$ $5,$ and $6.$ These three faces do meet at a corner, and their sum is $3 + 5 + 6 = 14.$

Thus, the correct answer is D .

21.

Jack tenía una bolsa con $128$ manzanas. Vendió el $25\%$ de ellas a Jill. Luego vendió el $25\%$ de las que quedaban a June. De las manzanas que aún tenía en la bolsa, le dio la más brillante a su maestro. ¿Cuántas manzanas tenía Jack entonces?

Jack had a bag of $128$ apples. He sold $25\%$ of them to Jill. Next he sold $25\%$ of those remaining to June. Of those apples still in his bag, he gave the shiniest one to his teacher. How many apples did Jack have then?

$7$

$63$

$65$

$71$

$111$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Vender el $25\%$ deja $75\% = \frac{3}{4}$ de las manzanas

Selling $25\%$ leaves $75\% = \frac{3}{4}$ of the apples

Pista grande:

Multiplica $128$ por $\frac{3}{4}$ dos veces y luego resta la que se le dio al maestro

Multiply $128$ by $\frac{3}{4}$ twice, then subtract the one given to the teacher

Solución:

Después de vender el $25\%$ a Jill, Jack se queda con $\frac{3}{4} \times 128 = 96$ manzanas. Después de vender el $25\%$ de esas a June, se queda con $\frac{3}{4} \times 96 = 72$ manzanas.

Luego le da $1$ a su maestro, dejando $72 - 1 = 71$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After selling $25\%$ to Jill, Jack keeps $\frac{3}{4} \times 128 = 96$ apples. After selling $25\%$ of those to June, he keeps $\frac{3}{4} \times 96 = 72$ apples.

He then gives $1$ to his teacher, leaving $72 - 1 = 71.$

Thus, the correct answer is D .

22.

Las letras $A$ , $J$ , $H$ , $S$ , $M$ , $E$ y los dígitos $1$ , $9$ , $8$ , $9$ se desplazan cíclicamente por separado, una posición cada vez, para construir una lista numerada. Empezando desde AJHSME $1989,$ la lista comienza así: la línea $1$ es JHSMEA $9891,$ la línea $2$ es HSMEAJ $8919,$ la línea $3$ es SMEAJH $9198,$ y así sucesivamente. ¿En qué número de línea aparecerá AJHSME $1989$ por primera vez?

The letters $A,$ $J,$ $H,$ $S,$ $M,$ $E$ and the digits $1,$ $9,$ $8,$ $9$ are each cycled separately (shifted one place at a time) to build a numbered list. Starting from AJHSME $1989,$ the list begins: line $1$ is JHSMEA $9891,$ line $2$ is HSMEAJ $8919,$ line $3$ is SMEAJH $9198,$ and so on. On what numbered line will AJHSME $1989$ appear for the first time?

$6$

$10$

$12$

$18$

$24$

Conceptos:mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Las seis letras vuelven a AJHSME cada $6$ líneas; los cuatro dígitos vuelven a $1989$ cada $4$ líneas

The six letters return to AJHSME every $6$ lines; the four digits return to $1989$ every $4$ lines

Pista grande:

Ambos vuelven juntos en el mínimo común múltiplo de $6$ y $4$

Both return together on the least common multiple of $6$ and $4$

Solución:

Las seis letras vuelven a su orden original AJHSME cada $6$ líneas, y los cuatro dígitos vuelven a $1989$ cada $4$ líneas.

Ambos ocurren en la misma línea en el mínimo común múltiplo de $6$ y $4$ , que es $12$ . Así que AJHSME $1989$ reaparece por primera vez en la línea $12$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The six letters cycle back to their original order AJHSME every $6$ lines, and the four digits cycle back to $1989$ every $4$ lines.

Both happen on the same line at the least common multiple of $6$ and $4,$ which is $12.$ So AJHSME $1989$ first reappears on line $12.$

Thus, the correct answer is C .

23.

Una artista tiene $14$ cubos, cada uno con una arista de $1$ metro. Los coloca en el suelo para formar la escultura que se muestra. Luego pinta la superficie expuesta de la escultura. ¿Cuántos metros cuadrados pinta?

An artist has $14$ cubes, each with an edge of $1$ meter. She stands them on the ground to form a sculpture as shown. She then paints the exposed surface of the sculpture. How many square meters does she paint?

$21$

$24$

$33$

$37$

$42$

Conceptos:área de superficie geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Cuenta las caras expuestas en los cuatro lados verticales y luego las caras que se ven directamente desde arriba

Count the exposed faces on the four vertical sides, then the faces seen from directly above

Pista grande:

Cada uno de los cuatro lados muestra $6$ caras expuestas, y mirar directamente hacia abajo cubre toda la huella $3 \times 3$ de caras superiores

Each of the four sides shows $6$ exposed faces, and looking straight down covers the full $3 \times 3$ footprint of top faces

Solución:

Como cada capa superior está alineada en una esquina, cada uno de los cuatro lados verticales muestra un perfil escalonado de $3 + 2 + 1 = 6$ caras cuadradas expuestas, lo que da $4 \times 6 = 24$ caras laterales.

Vistas directamente desde arriba, las caras superiores cubren toda la huella $3 \times 3$ , agregando $9$ caras más. La base descansa en el suelo y no se pinta, así que el total es $24 + 9 = 33$ metros cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because each higher layer is flush into one corner, each of the four vertical sides shows a stepped profile of $3 + 2 + 1 = 6$ exposed square faces, for $4 \times 6 = 24$ side faces.

Viewed from directly above, the top faces cover the full $3 \times 3$ footprint, adding $9$ more faces. The bottom rests on the ground and is not painted, so the total is $24 + 9 = 33$ square meters.

Thus, the correct answer is C .

24.

Supongamos que una hoja cuadrada de papel se dobla verticalmente por la mitad. Luego, el papel doblado se corta por la mitad a lo largo de la línea discontinua. Se forman tres rectángulos: uno grande y dos pequeños. ¿Cuál es la razón entre el perímetro de uno de los rectángulos pequeños y el del rectángulo grande?

Suppose a square piece of paper is folded in half vertically. The folded paper is then cut in half along the dashed line. Three rectangles are formed—a large one and two small ones. What is the ratio of the perimeter of one of the small rectangles to the perimeter of the large rectangle?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{5}{6}$

Conceptos:plegado de papel perímetro

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Da al cuadrado original una longitud de lado conveniente, como $4$ , y sigue las piezas

Give the original square a convenient side length, such as $4,$ and track the pieces

Pista grande:

La pieza que contiene el doblez se despliega en un rectángulo grande $2 \times 4$ , mientras que cada una de las otras capas es un rectángulo pequeño $1 \times 4$

The piece containing the fold unfolds to a $2 \times 4$ large rectangle, while each other layer is a $1 \times 4$ small rectangle

Solución:

Sea el cuadrado de lado $4$ . Doblar por la mitad forma una pila $2 \times 4$ de dos capas. Cortar paralelo al doblez la divide en una tira que contiene el doblez y otra que no.

La tira con el doblez se despliega en el rectángulo grande, $2 \times 4$ , con perímetro $2(2 + 4) = 12$ . La otra tira son dos rectángulos pequeños separados, cada uno $1 \times 4$ , con perímetro $2(1 + 4) = 10$ . La razón es $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the square have side $4.$ Folding in half makes a $2 \times 4$ stack of two layers. Cutting parallel to the fold splits it into a strip containing the fold and a strip that does not.

The strip with the fold unfolds into the large rectangle, $2 \times 4,$ with perimeter $2(2 + 4) = 12.$ The other strip is two separate small rectangles, each $1 \times 4,$ with perimeter $2(1 + 4) = 10.$ The ratio is $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}.$

Thus, the correct answer is E .

25.

Cada vez que se hacen girar las dos ruletas mostradas, los punteros seleccionan dos números. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos números seleccionados sea par?

Every time the two wheels shown are spun, two numbers are selected by the pointers. What is the probability that the sum of the two selected numbers is even?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{7}$

Conceptos:probabilidad básica paridad

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Una suma es par exactamente cuando ambos números son pares o ambos son impares

A sum is even exactly when both numbers are even or both are odd

Pista grande:

La primera ruleta tiene $2$ números pares y $2$ impares; la segunda tiene $1$ par y $2$ impares

The first wheel has $2$ even and $2$ odd numbers; the second has $1$ even and $2$ odd

Solución:

La suma es par cuando ambos números son pares o ambos impares. La primera ruleta tiene pares $\{4, 8\}$ e impares $\{3, 5\}$ , cada uno con probabilidad $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . La segunda ruleta tiene el par $\{6\}$ con probabilidad $\frac{1}{3}$ e impares $\{7, 9\}$ con probabilidad $\frac{2}{3}$ .

Así que la probabilidad de una suma par es $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum is even when both numbers are even or both are odd. The first wheel has evens $\{4, 8\}$ and odds $\{3, 5\},$ each with probability $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$ The second wheel has even $\{6\}$ with probability $\frac{1}{3}$ and odds $\{7, 9\}$ with probability $\frac{2}{3}.$

So the probability of an even sum is $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is C .