1985 AMC 8 第 9 题

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9.

下面 99 个因数的乘积是多少?
(1−12)(1−13)(1−14)⋯⋅(1−110) \begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}
What is the value of the product of the 99 factors below?
(1−12)(1−13)(1−14)⋯⋅(1−110) \begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}
110\dfrac{1}{10}
19\dfrac{1}{9}
12\dfrac{1}{2}
1011\dfrac{10}{11}
112\dfrac{11}{2}
答案:A
知识点:裂项相消分数
小提示:
改写每个因数:1−1k=k−1k1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}
Rewrite each factor: 1−1k=k−1k1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}
大提示:
把乘积写成 12⋅23⋅34⋯910\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10},观察相邻项相消
Write the product as 12⋅23⋅34⋯910\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10} and watch consecutive terms cancel
解答:
每个因数 1−1k1 - \dfrac1k 都等于 k−1k\dfrac{k-1}{k},所以乘积是
12⋅23⋅34⋯910。\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}\text{。}
每个分子都会和前一个分母相消,最后留下 110\dfrac{1}{10}。
所以正确答案是 A。
Each factor 1−1k1 - \dfrac1k equals k−1k,\dfrac{k-1}{k}, so the product is
12⋅23⋅34⋯910.\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.
Every numerator cancels the previous denominator, leaving 110.\dfrac{1}{10}.
Thus, the correct answer is A .
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