Question

矩形 $ABCD$ 内接于以 $\overline{FE}$ 为直径的半圆，如图所示。已知 $DA=16$ ，且 $FD=AE=9$ 。矩形 $ABCD$ 的面积是多少？

Rectangle $ABCD$ is inscribed in a semicircle with diameter $\overline{FE},$ as shown in the figure. Let $DA=16,$ and let $FD=AE=9.$ What is the area of $ABCD?$

$240$

$248$

$256$

$264$

$272$

答案：A

知识点：圆勾股定理矩形

难度评级：1330

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文字解答：

因为 $FE$ 是半圆直径，直径长为 $34$ ，半径为 $17$ 。设 $O$ 为直径的中点。

因此 $OF$ 的长度为 $17$ 。

由于 $D$ 在 $OF$ 上， $\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}$

又因为该点在半圆上，所以 $OC = 17$ 。

矩形 $ABCD$ 中， $\angle ODC$ 是直角。用勾股定理求 $DC$ ： $\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}$

因此矩形面积为 $DC\cdot DA = 15\cdot 16=240$ 。

正确答案是 A。

Since $FE$ is the diameter of the semicircle, we know the length of the diameter is $34,$ and so the radius is $17.$ Let $O$ be the center of the diameter.

The length from $OF$ therefore is $17.$

Since $D$ is on $OF,$ we know $\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}$

Also, since we have a semicircle, we know $OC = 17.$

Finally, since $ABCD$ is a rectangle, we know $\angle ODC$ is a right angle. This means we can find $DC$ by the Pythagorean Theorem. We know $\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}$

Thus, the area of the rectangle is $DC\cdot DA = 15\cdot 16=240.$

Thus, the correct answer is A.

2020 AMC 8 第 18 题

答案：A

难度评级：1330

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