Question

如下图所示，非凸四边形 $ABCD$ 中， $\angle BCD$ 是直角， $AB=12$ 、 $BC=4$ 、 $CD=3$ 、 $AD=13$ 。四边形 $ABCD$ 的面积是多少？

In the non-convex quadrilateral $ABCD$ shown below, $\angle BCD$ is a right angle, $AB=12,$ $BC=4,$ $CD=3,$ and $AD=13.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$12$

$24$

$26$

$30$

$36$

答案：B

知识点：勾股定理勾股数面积

难度评级：1430

视频讲解：

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文字解答：

因为 $\angle BCD$ 是直角，对 $\triangle BCD$ 用勾股定理得 $\overline{BD} = 5$ 。又可得 $\angle DBA$ 是直角，因为 $\triangle BDA$ 的三边构成勾股三元组。

四边形 $ABCD$ 的面积等于 $\begin{align*} \text{area}(\triangle &BDA) - \text{area}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}$

所以正确答案是 B。

Since $\angle BCD$ is a right angle, we can apply the Pythagorean theorem to $\triangle BCD$ to get that $\overline{BD} = 5.$ We also get that $\angle DBA$ is right since the sides of $\triangle BDA$ form a Pythagorean triple.

Then the area of $ABCD$ is equal to $\begin{align*} \text{area}(\triangle &BDA) - \text{area}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

2017 AMC 8 第 18 题

答案：B

难度评级：1430

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其他年份的第 18 题