2005 AMC 8 第 9 题

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9.

在四边形

ABCD

中，边

\overline{AB}

和

\overline{BC}

长度都为

10

，边

\overline{CD}

和

\overline{DA}

长度都为

17

，且角

ADC

的度数是

60^\circ

。对角线

\overline{AC}

的长度是多少？

In quadrilateral

ABCD,

sides

\overline{AB}

and

\overline{BC}

both have length

10,

sides

\overline{CD}

and

\overline{DA}

both have length

17,

and the measure of angle

ADC

is

60^\circ.

What is the length of diagonal

\overline{AC}?

13.5

14

15.5

17

18.5

答案：D

知识点：等腰三角形等边三角形角度和

难度评级：1020

小提示：

只看

\triangle ADC

Look only at

\triangle ADC

.

大提示：

它是等腰三角形，并且有一个

60^\circ

角

It is isosceles and has a

60^\circ

angle.

解答：

\triangle ADC

是等腰三角形，所以

\angle DAC = \angle DCA

。

我们得到

\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ} \end{gather*}\text{。}

所以

\triangle ADC

是等边三角形，因此

AC = CD = 17\text{。}

所以正确答案是 D。

Note that

\triangle ADC

is isosceles. This means that

\angle DAC = \angle DCA.

We get that

\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}

This shows that

\triangle ADC

is equilateral. This gives us that

AC = CD = 17.

Thus, D is the correct answer.