Question

三个正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 相乘，乘积为 $100$ 。假设 $a < b < c$ 。这些数有多少种选择方式？

When three positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are multiplied together, their product is $100.$ Suppose $a < b < c.$ In how many ways can the numbers be chosen?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：E

知识点：因数分类讨论

难度评级：1190

解答：

因为 $a< b< c$ 且 $abc=100$ ，所以 $a^3<100$ ，因此 $a\le4$ 。同时 $a$ 必须整除 $100$ ，故 $a\in\{1,2,4\}$ 。

若 $a=1$ ，则 $(b,c)$ 可为 $(2,50),(4,25),(5,20)$ 。若 $a=2$ ，唯一可行的数对是 $(5,10)$ 。若 $a=4$ ，则 $bc=25$ ，没有满足 $4< b< c$ 的整数 $b$ 。

共有 $4$ 种可能的三元组。

所以正确答案是 E。

Since $a< b< c$ and $abc=100$ , we have $a^3<100$ , so $a\le4$ . Also $a$ must divide $100$ , so $a\in\{1,2,4\}$ .

If $a=1$ , the pairs $(b,c)$ are $(2,50),(4,25),(5,20)$ . If $a=2$ , the only possible pair is $(5,10)$ . If $a=4$ , then $bc=25$ , and there is no integer $b$ with $4< b< c$ .

There are $4$ possible triples.

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 8 第 3 题

答案：E

难度评级：1190

解答：

其他年份的第 3 题