2021 AMC 10B Fall 真题: Printable Version

1.

求下式的值： $1234 + 2341 + 3412 + 4123\text{。}$

$10{,}000$

$10{,}010$

$10{,}110$

$11{,}000$

$11{,}110$

答案：E

解答：

逐位相加，得到 $11,110$ 。

也可以注意到每个数位上的数字和均为 $10$ ，所以总和为 $10\cdot 1111 = 11,110$ 。

所以答案是 E。

2.

下图中阴影图形的面积是多少？

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

答案：B

解答：

阴影部分的面积是一个三角形的面积 $\dfrac {4\cdot 5}2 - \dfrac{2\cdot 4}2 = 10-4$ $= 6$ 因为这是用较大三角形的面积减去较小三角形的面积得到的。

所以答案是 B。

3.

表达式 $\dfrac{2021}{2020} - \dfrac{2020}{2021}$ 等于最简分数 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 与 $q$ 为正整数且最大公因数为 $1$ 。求 $p$ 。

$1$

$9$

$2020$

$2021$

$4041$

答案：E

解答：

通分得 $\dfrac{2021\cdot 2021}{2020\cdot 2021} -\dfrac{2020\cdot 2020}{2020\cdot 2021}$ $= \dfrac{2021^2-2020^2}{2020\cdot 2021}\text{。}$

利用平方差公式，可进一步化为 $\dfrac{(2021-2020)(2021+2020)}{2020\cdot 2021}$ $=\dfrac{4041}{2020\cdot 2021}\text{。}$

因为 $4041$ 与 $2020$ 、 $2021$ 互质，所以分子为 $4041$ 。

所以答案是 E。

4.

某天中午，Minneapolis 比 St. Louis 暖和 $N$ 度。到 $4{:}00$ 时，Minneapolis 的气温下降了 $5$ 度，而 St. Louis 的气温上升了 $3$ 度，此时两城气温相差 $2$ 度。所有可能的 $N$ 值的乘积是多少？

$10$

$30$

$60$

$100$

$120$

答案：C

解答：

设中午两城气温差为 $N=m-s$ 。到 $4{:}00$ 时，新温差为 $(m-5)-(s+3)=N-8$ 。

此时两城气温相差 $2$ 度，所以 $|N-8|=2$ 。因此 $N=6$ 或 $N=10$ ，所有可能值的乘积为 $6\cdot10=60$ 。

所以正确答案是 C。

5.

令 $n=8^{2022}$ 。下列哪一项等于 $\frac{n}{4}$ ？

$4^{1010}$

$2^{2022}$

$8^{2018}$

$4^{3031}$

$4^{3032}$

答案：E

解答：

因为 $8=2^3$ ，所以 $n=8^{2022}=2^{6066}=4^{3033}\text{。}$

因此 $\frac n4=\frac{4^{3033}}4=4^{3032}\text{。}$

所以答案是 E。

6.

恰有 $2021$ 个不同正因数的最小正整数可写成 $m \cdot 6^k$ ，其中 $m$ 和 $k$ 为整数，且 $6$ 不是 $m$ 的因数。求 $m+k$ 。

$47$

$58$

$59$

$88$

$90$

答案：B

解答：

开始之前先注意：如果整数 $z$ 的质因数分解可以写成 $z=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots\text{，}$ 那么它共有 $(e_1+1)(e_2+1) \cdots$ 个不同的正因数。

如果所求的数有 $2021$ 个因数，由上面的道理可知 $2021=(e_1+1)(e_2+1) \cdots\text{，}$ 而 $2021 = 43\cdot 47$ ，所以这个数必定形如 $p_1^{46}p_2^{42}$ 或 $p^{2020}$ 。

在这两种形式中，能得到的最小的数是在第一种形式中取 $p_1 = 2,p_2=3$ ，即 $2^{46}3^{42} = 16\cdot 6^{42}\text{。}$

因此 $m=16$ $k=42\text{，}$ 所以 $m+k = 42+16 = 58\text{。}$

所以答案是 B。

7.

如果分数 $\frac{a}{b}$ 不一定为最简形式，且 $a$ 、 $b$ 为正整数、两者之和为 $15$ ，则称它为“特殊”分数。有多少个不同的整数可以写成两个不一定不同的特殊分数之和？

$\ 9$

$\ 10$

$\ 11$

$\ 12$

$\ 13$

答案：C

解答：

分母为 $b$ 的特殊分数等于 $\frac{15-b}{b}=\frac{15}{b}-1$ ，其中 $1\le b\le14$ 。所求整数可写成 $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}-2$ 。

设 $x\le y$ ，逐一检查十四个可能的分母，得到下列能产生整数的数对： $\begin{gathered} (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),\\ (2,10),(3,3),(3,5),(4,12),\\ (5,5),(6,6),(6,10),(10,10) \end{gathered}\text{。}$ 它们给出的不同的和为 $1,2,3,4,6,7,8,13,16,18,28$ 。

这样的整数共有 $11$ 个。

所以答案是 C。

8.

$16{,}384$ 的最大质因数是 $2$ ，因为 $16{,}384 = 2^{14}$ 。求 $16{,}383$ 的最大质因数的各位数字之和。

$3$

$7$

$10$

$16$

$22$

答案：C

解答：

有 $\begin{aligned}16,383 &= 16384-1 \\&= 2^{14}-1 \\&= (2^7-1)(2^7+1) \\&= 127\cdot 129\end{aligned}\text{。}$ 因为 $129=3\cdot 43$ ，所以 $16383 = 3\cdot 43\cdot 127\text{。}$ 因此 $127$ 是最大质因数，其各位数字之和为 $10$ 。

所以答案是 C。

9.

某王国的骑士有两种颜色。 $\frac{2}{7}$ 是红色，其余是蓝色。此外， $\frac{1}{6}$ 的骑士有魔法，而红骑士中有魔法的比例是蓝骑士中有魔法的比例的 $2$ 倍。红骑士中有魔法的比例是多少？

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{3}{13}$

$\dfrac{7}{27}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{1}{3}$

答案：C

解答：

设蓝骑士中有魔法的比例为 $x$ ，则红骑士中有魔法的比例为 $2x$ 。

总魔法比例为按红蓝人数加权的平均： $\frac27(2x)+\frac57(x)=\frac16\text{。}$

因此由 $\frac97x=\frac16$ 得 $x=\frac7{54}$ 。红骑士中有魔法的比例为 $2x=\frac7{27}$ 。

所以正确答案是 C。

10.

$1$ 到 $40$ 编号的四十张纸条放在帽子里。Alice 和 Bob 各不放回地抽一张，并互相隐藏自己的数字。Alice 说：“我不能判断谁的数字更大。” 然后 Bob 说：“我知道谁的数字更大。” Alice 说：“你知道？你的数字是质数吗？” Bob 回答：“是。” Alice 说：“这样的话，如果我把你的数字乘以 $100$ ，再加上我的数字，结果是一个完全平方数。” 两人抽到的数字之和是多少？

$27$

$37$

$47$

$57$

$67$

答案：A

解答：

如果 Alice 抽到 $1$ 或 $40$ ，她会知道谁的数字更大，因此她的数字不是 $1$ 或 $40$ 。

Bob 由此知道 Alice 的数字不是端点。此时只有当 Bob 的数字属于 $1,2,39$ 或 $40$ 时，他才能判断大小。又因为他的数字是质数，所以只能是 $2$ 。

现在 $100\cdot2$ 加上 Alice 的数字是介于 $201$ 和 $240$ 之间的平方数。唯一可能是 $225$ ，所以 Alice 的数字为 $25$ ，两数之和为 $2+25=27$ 。

所以正确答案是 A。

11.

一个边长为 $1$ 的正六边形内接于一个圆。由正六边形每条边所截出的圆的小弧，分别关于该边反射。由这 $6$ 条反射弧围成的区域面积是多少？

$\frac{5\sqrt{3}}{2} - \pi$

$3\sqrt{3}-\pi$

$4\sqrt{3}-\frac{3\pi}{2}$

$\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

答案：B

解答：

原圆由正六边形和 $6$ 个相同的圆弓形组成。将每条小弧关于对应边反射后，这 $6$ 个圆弓形都移到六边形内部。

因此原圆面积与反射弧围成区域面积的平均数等于正六边形面积。正六边形面积为 $6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}$ ，原圆半径为 $1$ ，所以面积为 $\pi$ 。

设所求面积为 $A$ ，则 $\frac{A+\pi}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}$ ，所以 $A=3\sqrt3-\pi$ 。

所以正确答案是 B。

12.

下列哪个条件足以保证整数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足下面的方程 $x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)$ $= 1\text{？}$

x > y 且 $y=z$

$x=y-1$ 且 $y=z-1$

$x=z+1$ 且 $y=x+1$

$x=z$ 且 $y-1=x$

$x+y+z=1$

答案：D

解答：

设 $E=x(x-y)+y(y-z)$ $+z(z-x)$ 。展开得 $\begin{aligned} 2E={}&(x-y)^2+(y-z)^2\\ &+(z-x)^2 \end{aligned}\text{。}$

要使值为 $1$ ，三个非负平方项的和必须为 $2$ 。因为 $x,y,z$ 是整数，这三个平方项只能是 $1,1,0$ 。

因此两个变量必须相等，第三个变量与它们相差 $1$ 。条件 $x=z$ 且 $y-1=x$ 正好保证这一点。

所以正确答案是 D。

13.

一个边长为 $3$ 的正方形内接于一个等腰三角形，其中正方形的一条边在三角形的底边上。另一个边长为 $2$ 的正方形有两个顶点在第一个正方形上，另外两个顶点在三角形的边上，如图所示。三角形的面积是多少？

$19\frac14$

$20\frac14$

$21 \frac34$

$22\frac12$

$23\frac34$

答案：B

解答：

设等腰三角形的高为 $H$ ，底为 $B$ 。由相似性，三角形内水平方向的宽度与到顶点的距离成正比。

大正方形的上边长为 $3$ ，距顶点 $H-3$ 。小正方形的上边长为 $2$ ，距顶点 $H-5$ 。因此 $\frac{3}{H-3}=\frac{2}{H-5}\text{。}$

解得 $H=9$ 。又 $\frac{B}{H}=\frac{3}{H-3}$ ，所以 $B=\frac{9}{2}$ 。面积为 $\frac12\cdot\frac92\cdot9=\frac{81}{4}=20\frac14$ 。

所以答案是 B。

14.

Una 同时掷 $6$ 个标准 $6$ 面骰，并计算掷出的 $6$ 个数的乘积。这个乘积能被 $4$ 整除的概率是多少？

$\dfrac34$

$\dfrac{57}{64}$

$\dfrac{59}{64}$

$\dfrac{187}{192}$

$\dfrac{63}{64}$

答案：C

解答：

计算补事件，也就是乘积不能被 $4$ 整除。这发生在乘积中没有因子 $2$ ，或恰好有一个因子 $2$ 时。

六个骰子全为奇数的概率为 $(\frac12)^6=\frac1{64}$ 。恰好有一个因子 $2$ ，意味着唯一一个骰子掷出 $2$ 或 $6$ ，其余五个为奇数，概率为 $6\cdot\frac26\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac4{64}\text{。}$

补事件的概率为 $\frac5{64}$ ，所以所求概率为 $1-\frac5{64}=\frac{59}{64}$ 。

所以正确答案是 C。

15.

在正方形 $ABCD$ 中，点 $P$ 和 $Q$ 分别位于 $\overline{AD}$ 和 $\overline{AB}$ 上。线段 $\overline{BP}$ 与 $\overline{CQ}$ 在点 $R$ 处垂直相交，且 $BR = 6$ 、 $PR = 7$ 。求正方形的面积。

$85$

$93$

$100$

$117$

$125$

答案：D

解答：

因为 $BR=6$ 、 $PR=7$ ，所以 $BP=13$ 。由正方形中的对应直角三角形可得 $\triangle PAB\cong\triangle QBC$ ，于是 $CQ=BP=13$ 。

因为 $BP\perp CQ$ ，点 $R$ 是从 $B$ 向直角三角形 $BQC$ 的斜边 $CQ$ 所作高的垂足。因此 $QR\cdot RC=BR^2=36$ 且 $QR+RC=CQ=13\text{。}$

于是 $QR$ 与 $RC$ 是 $4$ 和 $9$ 。因为 $P$ 在 $\overline{AD}$ 上，所以 $AP\le AB$ 。由全等可得 $BQ=AP$ ，而直角三角形的射影定理给出 $BQ^2=CQ\cdot QR$ 和 $BC^2=CQ\cdot RC$ 。因此 $QR\le RC$ ，从而 $QR=4$ ， $RC=9$ 。于是 $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117 \end{aligned}\text{。}$

正方形面积为 $117$ 。

所以正确答案是 D。

16.

五个球围成一圈。Chris 随机选择两个相邻的球并交换它们。然后 Silva 也这样做，她选择的相邻球与 Chris 的选择独立。经过这两次相邻交换后，仍在原来位置上的球的期望个数是多少？

$1.6$

$1.8$

$2.0$

$2.2$

$2.4$

答案：D

解答：

Chris 选定一对相邻球后，Silva 有 $5$ 对相邻球可等可能选择。

如果 Silva 选择同一对，则所有 $5$ 个球都回到原位，概率为 $\frac15$ 。

如果 Silva 选择与 Chris 的那对恰好共享一个球的相邻对，则有 $2$ 个球在原位。这样的对有 $2$ 个，所以概率为 $\frac25$ 。

如果 Silva 选择与 Chris 的那对不相交的相邻对，则有 $1$ 个球在原位。概率同样为 $\frac25$ 。

期望为 $\begin{aligned} 5\cdot\frac15+2\cdot\frac25+1\cdot\frac25&=\frac{11}{5}\\ &=2.2 \end{aligned}\text{。}$

所以答案是 D。

17.

不同直线 $\ell$ 和 $m$ 位于 $xy$ 平面内，并在原点相交。点 $P(-1, 4)$ 关于直线 $\ell$ 反射到点 $P'$ ，再将 $P'$ 关于直线 $m$ 反射到点 $P''$ 。直线 $\ell$ 的方程为 $5x - y = 0$ ，且 $P''$ 的坐标为 $(4,1)$ 。求直线 $m$ 的方程。

$5x+2y=0$

$3x+2y=0$

$x-3y=0$

$2x-3y=0$

$5x-3y=0$

答案：D

解答：

两次关于过原点直线的反射，等价于旋转两倍的有向夹角，从第一条反射线转到第二条反射线。

点 $(-1,4)$ 被送到 $(4,1)$ ，这是顺时针 $90^\circ$ 的旋转。因此直线 $m$ 是将第一条反射线顺时针旋转 $45^\circ$ 后得到的，而第一条反射线就是 $\ell$ 。

直线 $\ell$ 的斜率为 $5$ 。若 $\theta_m=\theta_\ell-45^\circ$ ，则 $\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23\text{。}$

所以直线 $m$ 为 $y=\frac23x$ ，即 $2x-3y=0$ 。

所以答案是 D。

18.

三张完全相同、边长为 $6$ 的正方形纸片叠在一起。中间的纸片绕中心顺时针旋转 $30^\circ$ ，最上面的纸片绕中心顺时针旋转 $60^\circ$ ，得到下图所示的 $24$ 边形。

该多边形的面积可表示为 $a-b\sqrt{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数，且 $c$ 不被任何质数的平方整除。求 $a+b+c$ 。

$75$

$93$

$96$

$129$

$147$

答案：E

解答：

边界可分成 $24$ 个全等三角形，角分别为 $15^\circ$ 、 $45^\circ$ 、 $120^\circ$ 。

每个三角形的高为 $3$ ，即正方形边长的一半。相邻直角三角形有一个 $30^\circ$ 角，所以从长度为 $3$ 的底边上截去的部分为 $3\tan30^\circ=\sqrt3$ 。

对其中一个三角形作高，其底为 $3-\sqrt3$ ，高为 $3$ ，面积为 $\frac{3(3-\sqrt3)}{2}=\frac{9-3\sqrt3}{2}$ 。

所以总面积为 $24\cdot\frac{9-3\sqrt3}{2}=108-36\sqrt3\text{。}$ 因此 $a+b+c=108+36+3=147$ 。

所以答案是 E。

19.

令 $N$ 为正整数 $7777\ldots777$ ，这是一个 $313$ 位数且每一位都是 $7$ 。令 $f(r)$ 为 $N$ 的 $r$ 次方根的首位数字。求下式的值： $\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6) \end{aligned}\text{。}$

$8$

$9$

$11$

$22$

$29$

答案：A

解答：

数 $N$ 满足 $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}\text{。}$ 乘除 $10$ 的幂只会移动小数点，因此每次只需关注取出合适 $10$ 的幂后剩余的首因子。

对 $r=2$ ， $\sqrt N$ 的首因子在 $\sqrt7$ 和 $\sqrt8$ 之间，所以 $f(2)=2$ 。

对 $r=3$ ，首因子在 $\sqrt[3]{7}$ 和 $\sqrt[3]{8}$ 之间，所以 $f(3)=1$ 。对 $r=4$ ，首因子在 $\sqrt[4]{7}$ 和 $\sqrt[4]{8}$ 之间，所以 $f(4)=1$ 。

对 $r=5$ ，因为 $312=5\cdot62+2$ ，首因子在 $\sqrt[5]{700}$ 和 $\sqrt[5]{800}$ 之间。由于 $3^5\lt700\lt800\lt4^5$ ，得 $f(5)=3$ 。

对 $r=6$ ，首因子在 $\sqrt[6]{7}$ 和 $\sqrt[6]{8}$ 之间，所以 $f(6)=1$ 。总和为 $2+1+1+3+1=8$ 。

所以答案是 A。

20.

在某个游戏中， $4$ 名玩家各掷一个标准 $6$ 面骰。掷出最大点数的玩家获胜。如果最大点数出现并列，则这些并列者再次掷骰，如此继续直到一人获胜。Hugo 是其中一名玩家。已知 Hugo 赢得游戏，求 Hugo 第一次掷出 $5$ 的条件概率。

$\dfrac{61}{216}$

$\dfrac{367}{1296}$

$\dfrac{41}{144}$

$\dfrac{185}{648}$

$\dfrac{11}{36}$

答案：C

解答：

由对称性， $P(\text{Hugo 获胜})=\frac14$ 。因此所求条件概率等于 Hugo 第一次掷出 $5$ 并最终获胜的概率的四倍。

若 Hugo 第一次掷出 $5$ ，其他人不能掷出 $6$ 。按其他三人中也掷出 $5$ 的人数分类；若有 $t$ 人与 Hugo 并列，则 Hugo 后续获胜概率为 $\frac1{t+1}$ 。

按并列人数分类，得到 $\begin{gathered} P(\text{Hugo 掷出 }5\text{ 且获胜})\\ {}=\frac{1}{6^4}\sum_{t=0}^3 \binom3t\frac{4^{3-t}}{t+1}\\ {}=\frac{64+24+4+\frac14}{6^4}\\ {}=\frac{369}{4\cdot1296} \end{gathered}\text{。}$

乘以 $4$ ，得到 $\frac{369}{1296}=\frac{41}{144}$ 。

所以正确答案是 C。

21.

边数为 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 的正多边形内接于同一个圆。任意两个多边形不共用顶点，并且没有三条边交于同一点。在圆内部，有多少个点是其中两个多边形的边的交点？

$52$

$56$

$60$

$64$

$68$

答案：E

解答：

对内接同圆且无共点顶点的正 $k$ 边形和正 $n$ 边形，其中 $k\lt n$ ，它们的边界相交于 $2k$ 个点。

较小多边形的每条边会被较大多边形边界穿过两次。 $5$ 边形与各较大多边形分别贡献 $2\cdot5$ 个交点，对应的边数为 $6$ 、 $7$ 、 $8$ ； $6$ 边形与各较大多边形分别贡献 $2\cdot6$ 个交点，对应的边数为 $7$ 、 $8$ ； $7$ 边形贡献 $2\cdot7$ 个交点，对应边数为 $8$ 。

对所有多边形对求和。 $3(10)+2(12)+14=68\text{。}$

所以正确答案是 E。

22.

对每个整数 $n\ge2$ ，令 $S_n$ 为所有乘积 $jk$ 的和，其中 $j$ 和 $k$ 是整数，且 $1\le j<k\le n$ 。使 $S_n$ 能被 $3$ 整除的最小 $10$ 个 $n$ 的值之和是多少？

$\ 196$

$\ 197$

$\ 198$

$\ 199$

$\ 200$

答案：B

解答：

从 $S_{n-1}$ 到 $S_n$ ，新加入的项为 $jn$ ，其中 $1\le j\lt n$ 。 $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2 \end{gathered}\text{。}$

模 $3$ 看，这个增量为 $0$ 的情形是 $n\equiv0$ 或 $1\pmod3$ ，而增量为 $2$ 的情形是 $n\equiv2\pmod3$ 。

因为 $S_2=2$ ，在第 $3$ 次遇到与 $2\pmod3$ 同余的数时，也就是 $n=8$ ， $S_n$ 开始能被 $3$ 整除。之后 $n=8,9,10$ 都满足，并且这个模式每隔 $9$ 个 $n$ 重复一次。

最小的十个值为 $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35$ 。它们的和为 $197$ 。

所以答案是 B。

23.

一个正五边形的 $5$ 条边和 $5$ 条对角线各自独立随机染成红色或蓝色，且两种颜色概率相等。存在一个三角形，其顶点为该五边形的顶点，且三条边同色的概率是多少？

$\dfrac 23$

$\dfrac{105}{128}$

$\dfrac{125}{128}$

$\dfrac{253}{256}$

$1$

答案：D

解答：

计算补事件：将 $10$ 条边组成的 $K_5$ 用两种颜色染色，且没有单色三角形。

在任意顶点，如果有 $3$ 条关联边同色，那么这三条边另一端之间的边都必须是另一种颜色；但这又会形成单色三角形。因此每个顶点恰有 $2$ 条红边和 $2$ 条蓝边。

所以红边构成一个 $2$ 正则图，顶点数为 $5$ ，只能是一个 $5$ 环。带标号的 $5$ 环共有 $\frac{(5-1)!}{2}=12$ 个。

总染色数为 $2^{10}=1024$ ，所以所求概率为 $1-\frac{12}{1024}=\frac{253}{256}\text{。}$

所以正确答案是 D。

24.

用 $4$ 个白色单位立方体和 $4$ 个蓝色单位立方体构造一个 $2 \times 2 \times 2$ 立方体。有多少种不同构造方法？若一种构造经旋转后能与另一种重合，则二者视为相同。

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：A

解答：

问题等价于选择哪 $4$ 个位置涂蓝，位置总数为 $8$ ，并对立方体的 $24$ 个旋转使用 Burnside 引理。

恒等旋转固定 $\binom84=70$ 种染色。 $6$ 个绕面中心轴的四分之一转各固定 $2$ 种； $3$ 个绕面中心轴的半转各固定 $6$ 种； $8$ 个绕相对顶点轴的旋转各固定 $4$ 种； $6$ 个绕相对棱中点轴的半转各固定 $6$ 种。

因此不等价构造数为 $\begin{gathered} \frac{70+6\cdot2+3\cdot6+8\cdot4+6\cdot6}{24}\\ =7 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 A。

25.

一个边长为 $1$ 和 $3$ 的矩形、一个边长为 $1$ 的正方形，以及一个矩形 $R$ 按图所示内接于一个更大的正方形中。矩形 $R$ 面积的所有可能值之和可写成 $\tfrac mn$ ，其中 $m$ 、 $n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 。

$14$

$23$

$46$

$59$

$67$

答案：E

解答：

如图使用相似三角形。大正方形的两条边长分别为 $4x+2y$ 与 $3y+x$ ，所以 $3y+x=4x+2y$ ，得到 $y=3x$ ，大正方形边长为 $10x$ 。

在图形上部，设标出的水平线段为 $m$ 。矩形 $R$ 两侧形成的两个直角三角形具有平行的对应边和相等的斜边，因此全等，由此得到下图标出的长度。

由相似三角形， $\frac{m}{3x}=\frac{4x-\frac m3}{6x-m}\text{。}$ 因而 $6xm-m^2=12x^2-xm$ ，所以 $\begin{gathered} m^2-7xm+12x^2=0\\ =(m-3x)(m-4x)\text{。} \end{gathered}$

若 $m=3x$ ，矩形 $R$ 的两边均为 $3\sqrt2x$ ，面积为 $18x^2$ ；若 $m=4x$ ，两边为 $5x$ 与 $\frac{10}{3}x$ ，面积为 $\frac{50}{3}x^2$ 。

两个可能面积之和为 $\frac{104}{3}x^2$ 。由 $1\times3$ 矩形可知 $x^2+(3x)^2=1$ ，所以 $x^2=\frac1{10}$ 。因此面积和为 $\frac{104}{3}\cdot\frac1{10}=\frac{52}{15}\text{。}$

于是 $m+n=52+15=67$ ，正确答案是 E。