Problemas del 2002 AMC 8: Printable Version

1.

En una hoja de papel se dibujan un círculo y dos rectas distintas. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos de intersección de estas figuras?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: D

Solución:

Una recta y un círculo pueden cortarse en a lo sumo dos puntos, y dos rectas distintas pueden cortarse en a lo sumo un punto.

Coloca las dos rectas de modo que cada una corte al círculo dos veces y que ambas rectas se corten en otro punto. Esto da $2+2+1=5.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

2.

¿Cuántas combinaciones distintas de billetes de $\$5$ y billetes de $\$2$ se pueden usar para formar un total de $\$17$ ? En este problema el orden no importa.

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: A

Solución:

Como el total $\$17$ es impar, el número de billetes de $\$5$ debe ser impar.

Un billete de $\$5$ deja $\$12,$ que son seis billetes de $\$2.$ Tres billetes de $\$5$ dejan $\$2,$ que es un billete de $\$2.$ Cinco billetes de $\$5$ es demasiado.

Por lo tanto, hay $2$ combinaciones.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

3.

¿Cuál es el menor promedio posible de cuatro enteros pares positivos distintos?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: C

Solución:

Para obtener el menor promedio posible, queremos usar los $4$ enteros pares positivos más pequeños.

Esto se logra de la siguiente manera: $\dfrac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \dfrac{20}{4}$ $= 5.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

4.

El año $2002$ es un palíndromo (un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). ¿Cuál es el producto de las cifras del siguiente año después de $2002$ que sea un palíndromo?

$0$

$4$

$9$

$16$

$25$

Respuesta: B

Solución:

No queremos aumentar la cifra de los millares, así que podemos mantenerla en $2.$

Esto significa que tenemos que aumentar las cifras de las decenas y las centenas hasta $1,$ para obtener el siguiente palíndromo $2112.$ El producto de sus cifras es $4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

5.

Carlos Montado nació el sábado $9$ de noviembre de $2002.$ ¿Qué día de la semana tendrá Carlos $706$ días de edad?

lunes

miércoles

viernes

sábado

domingo

Respuesta: C

Solución:

Los días de la semana se repiten cada $7$ días. Después de $700$ días, el día de la semana seguirá siendo sábado.

Después de $6$ días más, el día de la semana será viernes.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

6.

Una fuente para pájaros está diseñada para desbordarse de modo que se limpie por sí misma. El agua entra a razón de $20$ mililitros por minuto y drena a razón de $18$ mililitros por minuto. Una de estas gráficas muestra el volumen de agua en la fuente durante el tiempo de llenado y continuando hasta el tiempo de desbordamiento. ¿Cuál es?

Respuesta: A

Solución:

Antes de que la fuente se desborde, gana $20-18=2$ mililitros de agua por minuto, así que su volumen aumenta de forma constante.

Una vez que la fuente está llena, el agua adicional que entra se desborda, así que el volumen permanece constante. Solo la gráfica A muestra una línea creciente seguida de una línea horizontal.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

7.

A los estudiantes de la clase de la señora Sawyer se les pidió hacer una prueba de sabor de cinco tipos de dulce. Cada estudiante eligió un tipo de dulce. Se muestra una gráfica de barras de sus preferencias. ¿Qué porcentaje de su clase eligió el dulce $E$ ?

$5$

$12$

$15$

$16$

$20$

Respuesta: E

Solución:

En la clase hay en total $6 + 8 + 4 + 2 + 5 = 25$ estudiantes. El porcentaje que eligió $E$ es $100 \cdot \dfrac{5}{25} = \dfrac{100}{5} = 20 \%.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

8.

Los problemas $8,$ $9,$ y $10$ usan los datos del párrafo y la tabla adjuntos.

El viejo rincón filatélico de Juan

Juan organiza las estampillas de su colección por país y por la década en que se emitieron. Los precios que pagó por ellas en una tienda de estampillas fueron: Brasil y Francia, $6$ ¢ cada una, Perú $4$ ¢ cada una, y España $5$ ¢ cada una. (Brasil y Perú son países sudamericanos, y Francia y España están en Europa.)

Número de estampillas por década

¿Cuántas de sus estampillas europeas se emitieron en los años $80$ ?

$9$

$15$

$18$

$24$

$42$

Respuesta: D

Solución:

Nota que Francia y España son los países europeos. El número de estampillas de los años $80$ de estos países es respectivamente $15$ y $9,$ para un total de $15 + 9 = 24$ estampillas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

9.

Sus estampillas sudamericanas emitidas antes de los años $70$ le costaron

$\$0.40$

$\$1.06$

$\$1.80$

$\$2.38$

$\$2.64$

Respuesta: B

Solución:

Brasil y Perú son los países sudamericanos.

Brasil tiene $4+7=11$ estampillas anteriores a los años $70,$ con un costo de $11\cdot6=66$ centavos. Perú tiene $6+4=10$ estampillas de ese tipo, con un costo de $10\cdot4=40$ centavos.

El costo total es $66+40=106$ centavos, es decir $\$1.06.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

10.

El precio promedio de sus estampillas de los años $70$ es más cercano a

$3.5$ ¢

$4$ ¢

$4.5$ ¢

$5$ ¢

$5.5$ ¢

Respuesta: E

Solución:

Las estampillas de los años $70$ cuestan $\begin{aligned} &12\cdot6+12\cdot6 \\ &\quad {}+6\cdot4+13\cdot5 \\ &\quad {}=72+72+24+65 \\ &\quad {}=233 \end{aligned}$ centavos.

Hay $12+12+6+13=43$ estampillas, así que el costo promedio es $233\div43,$ un poco más de $5$ centavos y lo más cercano a $5.5$ centavos.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

11.

Una sucesión de cuadrados está hecha de baldosas cuadradas idénticas. El lado de cada cuadrado es una baldosa más largo que el lado del cuadrado anterior. Se muestran los primeros tres cuadrados. ¿Cuántas baldosas más necesita el séptimo cuadrado que el sexto?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: C

Solución:

Los lados del sexto y del séptimo cuadrado miden $6$ y $7$ baldosas, respectivamente.

Usan $6^2=36$ y $7^2=49$ baldosas, respectivamente, así que el séptimo cuadrado necesita $49-36=13$ baldosas más.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

12.

La rueda giratoria de un juego de mesa está dividida en tres regiones marcadas $A,$ $B$ y $C.$ La probabilidad de que la flecha se detenga en la región $A$ es $\frac{1}{3}$ y en la región $B$ es $\frac{1}{2}.$ La probabilidad de que la flecha se detenga en la región $C$ es

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

Respuesta: B

Solución:

La probabilidad total es $1.$ Necesitamos restar la probabilidad de que la rueda caiga en $B$ y en $A$ para obtener $C,$ que es $1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

13.

Por su cumpleaños, Bert recibe una caja que contiene $125$ gomitas cuando está llena a su capacidad. Unas semanas después, Carrie recibe una caja más grande llena de gomitas. Su caja es dos veces más alta, dos veces más ancha y dos veces más larga que la de Bert. Aproximadamente, ¿cuántas gomitas recibió Carrie?

$250$

$500$

$625$

$750$

$1000$

Respuesta: E

Solución:

La caja más grande tendrá aproximadamente $125 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1000$ gomitas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

14.

Un comerciante ofrece un gran grupo de artículos con un $30\%$ de descuento. Después, el comerciante aplica un $20\%$ de descuento sobre estos precios rebajados y afirma que el precio final de estos artículos tiene un $50\%$ de descuento sobre el precio original. El descuento total es

$35\%$

$44\%$

$50\%$

$56\%$

$60\%$

Respuesta: B

Solución:

Sea $x$ el precio original. Después del descuento del $30\%,$ el precio es $0.70x.$

Aplicar otro $20\%$ de descuento sobre ese precio rebajado deja $0.80\cdot0.70x=0.56x.$

El cliente paga el $56\%$ del precio original, así que el descuento total es del $44\%.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

15.

¿Cuál de los siguientes polígonos tiene la mayor área?

$\text{A}$

$\text{B}$

$\text{C}$

$\text{D}$

$\text{E}$

Respuesta: E

Solución:

El número de casillas encerradas por cada polígono se puede obtener dividiendo el polígono en cuadrados unitarios y triángulos rectángulos de lado $1,$ y sumando sus valores.

Los cuadrados unitarios cuentan como $1$ y los triángulos cuentan como $0.5.$

$A$ tiene un área total de $5,$ $B$ tiene $5,$ $C$ tiene $5,$ $D$ tiene $4.5,$ y $E$ tiene $5.5.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

16.

Sobre los lados de un triángulo rectángulo $3-4-5$ se construyen triángulos rectángulos isósceles, como se muestra. Una letra mayúscula representa el área de cada triángulo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

$X + Z = W + Y$

$W + X = Z$

$3X + 4Y = 5Z$

$X + W = \dfrac{1}{2}(Y + Z)$

$X + Y = Z$

Respuesta: E

Solución:

Para un triángulo rectángulo isósceles construido sobre un lado de longitud $s,$ los dos catetos tienen longitud $s,$ así que su área es $\frac{s^2}{2}.$

$\begin{aligned} &W=\frac{3\cdot4}{2}=6, \\ &\quad X=\frac{3^2}{2}=4.5, \\ &\quad Y=\frac{4^2}{2}=8, \\ &\quad Z=\frac{5^2}{2}=12.5. \end{aligned}$

Estos valores satisfacen $X+Y=Z,$ y las demás ecuaciones listadas no.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

17.

En un concurso de matemáticas con diez problemas, un estudiante gana $5$ puntos por una respuesta correcta y pierde $2$ puntos por una respuesta incorrecta. Si Olivia respondió todos los problemas y su puntaje fue $29,$ ¿cuántas respuestas correctas tuvo?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: C

Solución:

Sea $x$ el número de respuestas correctas. Entonces respondió $10 - x$ preguntas de forma incorrecta.

Esto le da un puntaje total de $5x - 2(10 - x) = 7x - 20.$

Sabemos que esto es igual a $29,$ y al resolver se obtiene $7x - 20 = 29$ $x = 7.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

18.

Gage patinó $1$ h $15$ min cada día durante $5$ días y $1$ h $30$ min cada día durante $3$ días. ¿Cuánto tiempo tendría que patinar el noveno día para promediar $85$ minutos de patinaje cada día durante todo el periodo?

$1$ h

$1$ h $10$ min

$1$ h $20$ min

$1$ h $40$ min

$2$ h

Respuesta: E

Solución:

Gage ha patinado un total de $5 \cdot 75 + 3 \cdot 90 = 645$ minutos.

Para un promedio de $85$ minutos en $9$ días, Gage debe haber patinado un total de $85 \cdot 9 = 765$ minutos.

Esto significa que Gage debe patinar $765 - 645 = 120$ minutos el último día. Observa que $120$ minutos equivale a $2$ horas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

19.

¿Cuántos números enteros entre $99$ y $999$ contienen exactamente un $0$ ?

$72$

$90$

$144$

$162$

$180$

Respuesta: D

Solución:

Nota que la cifra $0$ puede ser la de las decenas o la de las unidades. Esto nos da $2$ opciones.

Hay $9$ opciones para cada una de las otras cifras, para un total de $2 \cdot 9 \cdot 9 = 162$ números.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

20.

El área del triángulo $XYZ$ es $8$ pulgadas cuadradas. Los puntos $A$ y $B$ son los puntos medios de los segmentos congruentes $\overline{XY}$ y $\overline{XZ}.$ La altura $\overline{XC}$ biseca a $\overline{YZ}.$ El área (en pulgadas cuadradas) de la región sombreada es

$1 \frac{1}{2}$

$2$

$2 \frac{1}{2}$

$3$

$3 \frac{1}{2}$

Respuesta: D

Solución:

Como $XY=XZ$ y $XC$ biseca a $YZ,$ la altura $XC$ divide a $\triangle XYZ$ en dos triángulos congruentes. La mitad izquierda $\triangle XYC$ tiene área $4.$

En $\triangle XYC,$ el punto $A$ es el punto medio de $XY.$ El segmento horizontal que pasa por $A$ corta a $XC$ a media altura, así que el pequeño triángulo superior es semejante a $\triangle XYC$ con factor de escala $\frac{1}{2}.$ Por lo tanto, su área es $\frac{1}{4}$ de $4,$ es decir $1.$

La región sombreada es el resto de la mitad izquierda, así que su área es $4-1=3.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

21.

Harold lanza una moneda de cinco centavos cuatro veces. La probabilidad de que obtenga al menos tantas caras como cruces es

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{11}{16}$

Respuesta: E

Solución:

Hay $2^4=16$ resultados igualmente probables para cuatro lanzamientos de moneda.

Obtener al menos tantas caras como cruces significa obtener $2,$ $3$ o $4$ caras. El número de tales resultados es $\begin{aligned} &\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4} \\ &\quad {}=6+4+1=11. \end{aligned}$

Así, la probabilidad es $\dfrac{11}{16}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

22.

Seis cubos, cada uno de una pulgada de arista, están unidos entre sí, como se muestra. Halla el área total de la superficie en pulgadas cuadradas. Incluye la cara superior, la inferior y los lados.

$18$

$24$

$26$

$30$

$36$

Respuesta: C

Solución:

Podemos contar el número de caras no expuestas para hallar cuántas caras contribuyen al área de la superficie.

Tres cubos tienen $1$ cara no expuesta, dos cubos tienen $2$ caras no expuestas, y un cubo tiene $3$ caras no expuestas.

Esto nos da un total de $3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 10$ caras no expuestas, lo que nos da $6 \cdot 6 - 10 = 36 - 10$ $= 26$ caras expuestas.

Cada cara expuesta contribuye $1^2 = 1$ al área de la superficie, para un área total de $1 \cdot 26 = 26.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

23.

Se muestra una esquina de un piso embaldosado. Si todo el piso se embaldosa de esta manera y cada una de las cuatro esquinas se ve como esta, ¿qué fracción del piso embaldosado está hecha de baldosas más oscuras?

$\dfrac{1}3$

$\dfrac{4}9$

$\dfrac{1}2$

$\dfrac{5}9$

$\dfrac{5}8$

Respuesta: B

Solución:

Nota que hay regiones $3 \times 3$ que se repiten con el mismo patrón (pueden estar rotadas de forma distinta).

En esta región, hay tres cuadrados unitarios oscuros y dos triángulos oscuros que se combinan para formar otro cuadrado unitario.

Esto hace que el área de la región más oscura sea $4$ y la región completa sea $9.$ La fracción buscada es entonces $\dfrac{4}{9}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

24.

Miki tiene una docena de naranjas del mismo tamaño y una docena de peras del mismo tamaño. Miki usa su exprimidor para extraer $8$ onzas de jugo de pera de $3$ peras y $8$ onzas de jugo de naranja de $2$ naranjas. Prepara una mezcla de jugo de pera y naranja con un número igual de peras y naranjas. ¿Qué porcentaje de la mezcla es jugo de pera?

$30$

$40$

$50$

$60$

$70$

Respuesta: B

Solución:

Usa $6$ peras y $6$ naranjas, que es un número igual de cada fruta.

Como $3$ peras dan $8$ onzas, $6$ peras dan $16$ onzas. Como $2$ naranjas dan $8$ onzas, $6$ naranjas dan $24$ onzas.

La mezcla tiene $16+24=40$ onzas en total, de las cuales $16$ onzas son jugo de pera. El porcentaje de jugo de pera es $\frac{16}{40}=40\%.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

25.

Loki, Moe, Nick y Ott son buenos amigos. Ott no tenía dinero, pero los demás sí. Moe le dio a Ott un quinto de su dinero, Loki le dio a Ott un cuarto de su dinero y Nick le dio a Ott un tercio de su dinero. Cada uno le dio a Ott la misma cantidad de dinero. ¿Qué parte fraccionaria del dinero del grupo tiene Ott ahora?

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: B

Solución:

Como solo importan las fracciones, supón que cada uno le dio a Ott $\$1.$ Esto significa que Moe tenía $\$5,$ Loki tenía $\$4,$ y Nick tenía $\$3$ originalmente.

Las transferencias no cambian la cantidad total de dinero del grupo, que es $\$5 + \$4 + \$3 = \$12.$ Ott ahora tiene $\$3.$

Esto significa que Ott tiene $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ del dinero del grupo.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.