Solución:

Podemos simplificar de la siguiente manera: $$\begin{align*} &\left(\left((2+1)^{-1}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\left(\left(\dfrac{1}{3}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\left(\dfrac{3}{4}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\dfrac{4}{7} + 1 \\ &=\dfrac{11}{7} \end{align*}$$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Solución:

Sea $x$ el número de galones de refresco que tiene Jacqueline. Entonces Alice tiene $1.25x$ galones y Liliane tiene $1.5x$ galones.

Por lo tanto, la relación se obtiene dividiendo las cantidades de refresco de cada una: $\dfrac{1.5x}{1.25x} = 1.2,$ lo que significa que Liliane tiene $20\%$ más refresco.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Solución:

Podemos dividir $10!$ entre $60$, $60$ y $24$ para obtener el número de días que tarda una unidad de sangre en caducar.

La primera división cancela un $6$ y un $10$. La segunda división cancela $3, 4$ y $5$. La última división cancela $8$ y convierte el $9$ en un $3$.

Quedan $2, 7$ y $3$, cuyo producto es $42$. Enero tiene $31$ días, así que para el $1$ de febrero a la sangre solo le quedan $42 - 31 = 11$ días.

$11$ días después del $1$ de febrero, la sangre caducará el $12$ de febrero.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Solución:

Las $3$ clases pueden ocupar los siguientes periodos: $$(1, 3, 5),$$$$(1, 3, 6),$$$$(1, 4, 6),$$$$(2, 4, 6).$$

Esto significa que hay $4$ maneras de elegir en qué periodos ocurren los cursos de matemáticas.

Para cada configuración, hay $3!$ maneras de determinar el orden de los cursos, para un total de $6 \cdot 4 = 24$ horarios.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Solución:

La afirmación de Alice nos dice que $d \lt 6$. La afirmación de Bob nos dice que $d \gt 5$. La afirmación de Charlie nos dice que $d \gt 4$.

Combinando todo esto obtenemos que $5 \lt d$ y $d \lt 6$, lo que significa que $d$ está en el intervalo $(5, 6)$.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Si $65\%$ de los votos fueron positivos, entonces $35\%$ de los votos son negativos. Así, la puntuación de Sangho es $65\% - 35\% = 30\%$ del número total de votos.

Sabemos que la puntuación de Sangho es $90,$ así que el número total de votos es $90 \div 30\% = 300.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Solución:

Podemos reescribir la expresión como $$(2^5 \cdot 5^3) \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2^{5 + n} \cdot 5^{3 - n}.$$

Para que sea un entero, los exponentes deben ser no negativos, es decir $$\begin{align*} 5 + n \geq 0 &\Rightarrow n \geq -5 \\ 3 - n \geq 0 &\Rightarrow n \leq 3. \end{align*}$$

Esto nos da $5 + 3 + 1 = 9$ valores para $n.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Solución:

Sea $x$ el número de monedas de $5$ centavos que tiene Joe. Entonces el número de monedas de $10$ centavos que tiene es $x + 3.$

Por lo tanto, Joe tiene $$23 - x - (x + 3) = 20 - 2x$$ monedas de $25$ centavos.

El valor total de todas estas monedas es $$5x + 10(x + 3) + 25(20 - 2x)$$$$= 530 - 35x.$$

Sabemos que $$530 - 35x = 320 \Rightarrow x = 6.$$

Esto significa que Joe tiene $20 - 2 \cdot 6 = 8$ monedas de $25$ centavos. Por lo tanto, tiene $8 - 6 = 2$ monedas de $25$ centavos más que de $5$ centavos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Solución:

Por la semejanza de triángulos, sabemos que la longitud del lado de los triángulos más pequeños es $\sqrt{\frac{1}{40}}$ veces la del triángulo más grande.

Entonces la longitud del lado de $\triangle ADE$ es $4\sqrt{\frac{1}{40}}$ veces la del lado del triángulo más grande.

Esto hace que la razón de las áreas sea $$\left(4\sqrt{\dfrac{1}{40}}\right)^2 = 16 \cdot \dfrac{1}{40} = \dfrac{2}{5}.$$

Por lo tanto, el área de $\triangle ADE$ es $\frac{2}{5} \cdot 40 = 16.$ El área del trapecio es entonces $40 - 16 = 24.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Solución:

Nota que el lado izquierdo de la ecuación y la expresión buscada son conjugados. Al multiplicarlos se eliminan las raíces cuadradas.

Al multiplicarlos se obtiene $$49 - x^2 - 25 + x^2 = 24.$$

Esto significa que el producto de los valores de las expresiones es igual a $24.$ Por lo tanto, el valor buscado es $24 \div 3 = 8.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Solución:

Podemos usar estrellas y barras para hallar $n.$ Es lo mismo que contar el número de formas de poner $10$ bolas en $7$ cajas, donde cada caja tiene al menos una bola.

La fórmula para este caso es $$\binom{n - 1}{k - 1},$$ donde $n$ es el número de bolas y $k$ es el número de cajas.

Por lo tanto, la respuesta buscada es $$\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84.$$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Solución:

La segunda ecuación dice que $|x|-|y|=1$ o $|x|-|y|=-1$, así que basta con revisar las cuatro posibilidades lineales $x=y\pm1$ y $x=-y\pm1$.

Combinándolas con $x+3y=3$ se obtiene $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$, $(0,1)$, de nuevo $(0,1)$, y $(-3,2)$.

Estos son tres pares ordenados distintos, y cada uno satisface la ecuación original con valor absoluto. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Solución:

Nota que el pliegue será la mediatriz de $\overline{AB}.$ Sea $\overline{DE}$ el pliegue.

Por semejanza $AA$, sabemos que $\triangle ADE \sim \triangle ACB.$ Por lo tanto, $$\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{DE}{AD}$$ Sustituyendo los valores: $$\dfrac{3}{4} = \dfrac{DE}{\frac{5}{2}}.$$

Al simplificar obtenemos $$DE = \dfrac{15}{8}.$$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Sea $a=3^{96}$ y $b=2^{96}$. La expresión es $\dfrac{81a+16b}{a+b}=16+\dfrac{65a}{a+b}$, así que es menor que $16+65=81$.

Para demostrar que el mayor entero es $80$, también necesitamos que la expresión sea mayor que $80$. Esto equivale a $81a+16b>80a+80b$, es decir $a>64b$.

Como $\dfrac{a}{b}=\left(\dfrac32\right)^{96}>2^6=64$, la expresión es mayor que $80$ y menor que $81$. Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Solución:

Sea $X$ el centro del círculo grande y sean $Y,Z$ los centros de los dos círculos más pequeños. Entonces $XY=XZ=13-5=8$ y $YZ=10$.

Los radios a los puntos de tangencia hacen que $XA$ sea colineal con $XY$ y $XB$ colineal con $XZ$, así que $\triangle XAB\sim \triangle XYZ$. Por lo tanto $\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}$.

Entonces $AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}$, de modo que $m+n=65+4=69$. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Sea $P$ el pie de la altura desde $B$ hasta $\overline{AC}.$ También obtenemos que $AC = 29.$

Esto nos dice que $$\dfrac{29 \cdot PB}{2} = \dfrac{20 \cdot 21}{2}$$$$PB = \dfrac{20 \cdot 21}{29},$$ al calcular el área de dos maneras. Este valor está entre $14$ y $15.$

Observa que al mover el segmento desde $\overline{AB}$ hacia $\overline{PB},$ la longitud del segmento varía desde $AB$ hasta $PB.$

Por lo tanto, los valores enteros que cubre van desde $20$ hasta $15.$ De manera similar, al mover el segmento desde $\overline{PB}$ hacia $\overline{CB},$ toma los valores desde $15$ hasta $21.$

Esto nos da $13$ segmentos distintos que tienen longitud entera.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Procedemos por casos según el posible menor elemento de $S:$

$1$ no puede ser el menor elemento, pues eso significaría que ningún otro número puede estar en el conjunto.

$2$ no puede ser el menor elemento, pues tendríamos que incluir todos los números impares excepto $1.$ Esto haría que $3$ y $9$ violaran la regla.

Sea $3$ el menor elemento. Entonces podemos incluir $7$ y $11.$ Finalmente podemos incluir $4$ u $8$ y $5$ o $10.$

En cualquier caso, el número máximo de elementos que podemos incluir es $5,$ así que $3$ no puede ser el menor elemento.

Empezando con $4,$ podemos incluir $6, 7, 9$ y $11.$ Finalmente, podemos añadir $5$ o $10,$ formando un conjunto de $6$ elementos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Solución:

Nota que todo número formado por esta suma es positivo, negativo o cero.

El número de valores positivos es igual al de negativos por simetría (cambia los $1$ a $-1$ y los $-1$ a $1$).

La única manera de que la suma sea $0$ es que todos los coeficientes sean $0.$

El número total de valores es $3^8 = 6561.$ Como cada potencia de $3$ es mayor que la suma de todas las potencias anteriores de tres, cada combinación de coeficientes produce números distintos.

Por lo tanto, hay $$\dfrac{6561 - 1}{2} + 1 = 3281$$ enteros no negativos distintos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Como solo nos importa el dígito de las unidades, podemos convertir el conjunto $$\{11,13,15,17,19\}$$ en $$\{1,3,5,7,9\}.$$ Luego podemos analizar por casos según el valor de $m.$

Cuando $m = 1$:

Cualquier valor de $n$ funciona. Esto ocurre con probabilidad $\frac{1}{5}$.

Cuando $m = 3$:

Observando las potencias de $3,$ vemos que esta secuencia de dígitos de las unidades se repite: $$3, 9, 7, 1, \ldots$$

Esto significa que $n$ debe ser múltiplo de $4.$ Hay $5$ valores así. Esto significa que $n$ funciona $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ de las veces. La probabilidad total es $$\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{20}.$$

Cuando $m = 5$:

Las potencias de $5$ siempre terminan en $5,$ lo que significa que este caso nunca funciona.

Cuando $m = 7$:

Los dígitos de las unidades se repiten con este patrón: $$7, 9, 3, 1,\ldots$$ Esto significa que $n$ debe ser múltiplo de $4$ para funcionar. Como cuando $m = 3,$ este caso funciona con probabilidad $\frac{1}{20}.$

Cuando $m = 9$:

El dígito de las unidades alterna entre $1$ y $9.$ Esto significa que $n$ debe ser par. Esto ocurre con probabilidad $\frac{1}{2}$. La probabilidad total es entonces $$\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{10}.$$

Por lo tanto, la probabilidad total es $$\dfrac{1}{5} + 2 \cdot \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{5}.$$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Solución:

Bajo las simetrías del cuadrado, la cuadrícula de $7\times7$ se divide en $10$ órbitas de cuadrados. Una vez que se colorea un cuadrado de cada órbita, la simetría determina los colores de todos los demás cuadrados de esa órbita.

Por lo tanto, hay $2^{10}$ coloraciones simétricas antes de aplicar la condición de usar ambos colores. Las coloraciones todo negro y todo blanco no están permitidas.

El número total de códigos de escaneo simétricos válidos es $2^{10}-2=1022$. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Solución:

Sustituye $y=x^2-a$ en $x^2+y^2=a^2$, lo que da $x^2+(x^2-a)^2=a^2$, así que $x^2(x^2-(2a-1))=0$.

El factor $x^2=0$ siempre da el único punto $(0,-a)$. El otro factor da dos puntos reales adicionales exactamente cuando $2a-1>0$.

Hay exactamente tres puntos de intersección cuando $a>\dfrac12$. Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Solución:

De $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ y $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$, el número $a$ es divisible por $2^3\cdot3$ pero no por $3^2$.

De $\gcd(b,c)=36$ y $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$, el número $d$ es divisible por $2\cdot3^3$ pero no por $2^2$. Por lo tanto $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$, donde $n$ no tiene factor $2$ ni $3$.

Como $70<6n<100$, tenemos $12<n<17$. El único entero posible $n$ sin factor $2$ ni $3$ es $13$, así que el factor debe ser $13$. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Sea $x$ la longitud del lado de $S.$ Entonces podemos dividir el campo en las siguientes figuras.

Podemos expresar el área del campo de dos maneras: $$\dfrac{3 \cdot 4}{2} = x^2 + \dfrac{x(3 - x)}{2}$$$$+ \dfrac{x(4 - x)}{2} + \dfrac{2 \cdot 5}{2}.$$

Al simplificar se obtiene $$6 = \dfrac{7x}{2} + 5$$$$x = \dfrac{2}{7}.$$

La fracción buscada es $$\dfrac{6 - x^2}{6} = \dfrac{6 - \frac{4}{49}}{6} = \dfrac{145}{147}.$$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Sea $BC = a, BG = x, GC = y,$ y sea $h$ la longitud de la altura que pasa por $A.$

Por el teorema de la bisectriz, obtenemos que $$\dfrac{50}{x} = \dfrac{10}{y},$$ donde $y = a - x.$ Sustituyendo se obtiene $BG = \frac{5a}{6}.$ También sabemos que $DF = \frac{5a}{12}$ por triángulos semejantes.

Nota que la altura del trapecio es $\frac{1}{2}h,$ y $\frac{ah}{2} = 120.$ El área del trapecio es $$\dfrac{5a}{8} \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{ah}{2} = 75.$$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Solución:

Podemos usar la fórmula de la suma de una sucesión geométrica para reescribir $A_n, B_n,$ y $C_n.$

$$\begin{gather*} A_n = a(11\cdots11) \\ =a(1 + 10 + 10^2 + \cdots + 10^{n - 1}) \\ =a \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} \end{gather*}$$

De manera similar, obtenemos que $$B_n = b \cdot \dfrac{10^n - 1}{9}$$ y $$C_n = c \cdot \dfrac{10^{2n} - 1}{9}.$$

Podemos sustituir estas expresiones en nuestra condición para obtener $$c \cdot \dfrac{10^{2n} - 1}{9} - b \cdot \dfrac{10^n - 1}{9}$$$$= a^2 \left(\dfrac{10^n - 1}{9}\right)^2.$$

Al simplificar se obtiene $$\small \begin{align*} c(10^n + 1) - b &= a^2 \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} \\ 9c(10^n + 1) - 9b &= a^2 \cdot (10^n - 1) \\ (9c - a^2)10^n &= 9b - 9c - a^2. \end{align*}$$

De la última línea, vemos que $9c - a^2$ y $9b - 9c - a^2$ son constantes.

Para que haya al menos $2$ valores únicos de $n$ que satisfagan la ecuación, ambos lados deben ser iguales a cero.

Podemos verlo al notar que esta ecuación es lineal respecto a $10^n.$ Si ambos lados son distintos de cero, entonces no pueden existir $2$ soluciones únicas de una ecuación lineal.

Esto nos dice que $$9c - a^2 = 0$$ y $$9b - 9c - a^2 = 0.$$

La primera ecuación nos da $$c = \dfrac{a^2}{9}.$$ Sustituyendo esto en la segunda ecuación obtenemos $$b = \dfrac{2a^2}{9}.$$

Esto nos dice que $a$ debe ser divisible por $3.$ Esto nos da las siguientes ternas: $$(3, 2, 1), (6, 8, 4), (9, 18, 9).$$

La última terna no está permitida, así que la suma máxima es $$6 + 8 + 4 = 18.$$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.